第五讲 线性代数中的数值计算问题ppt课件.ppt

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1、第五讲线性代数中的数值计算问题【引例】求下列三阶线性代数方程组的近似解MATLAB程序为：A=[2-54;15-2;-124]；b=[5;6;5]；x=Ab在MATLAB命令窗口，先输入下列命令构造系数矩阵A和右端向量b：A=[2-54;15-2;-124]A=2-5415-2-124b=[5;6;5]b=565然后只需输入命令x=Ab即可求得解x：x=Abx=2.76741.18601.3488一、特殊矩阵的实现1.零矩阵:所有元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可以用zeros函数实现。zer

2、os是MATLAB内部函数，使用格式如下：zeros(m)：产生mm阶零矩阵；zeros(m,n)：产生mn阶零矩阵，当m=n时等同于zeros(m)；zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。一、特殊矩阵的实现常见的特殊矩阵有零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、三角形矩阵等，这类特殊矩阵在线性代数中具有通用性；还有一类特殊矩阵在专门学科中有用，如有名的希尔伯特(Hilbert)矩阵、范德蒙(Vandermonde)矩阵等。2.幺矩阵:所有元素值为1的矩阵称为幺矩阵。幺矩阵可以用ones函

3、数实现。它的调用格式与zeros函数一样。【例1】试用ones分别建立32阶幺矩阵、和与前例矩阵A同样大小的幺矩阵。用ones(3,2)建立一个32阶幺阵：ones(3,2)%一个32阶幺阵ans=111111一、特殊矩阵的实现3.单位矩阵:主对角线的元素值为1、其余元素值为0的矩阵称为单位矩阵。它可以用MATLAB内部函数eye建立，使用格式与zeros相同。4.数量矩阵:主对角线的元素值为一常数d、其余元素值为0的矩阵称为数量矩阵。显然，当d=1时，即为单位矩阵，故数量矩阵可以用eye(m)

4、*d或eye(m,n)*d建立。一、特殊矩阵的实现5.对角阵:对角线的元素值为常数、其余元素值为0的矩阵称为对角阵。我们可以通过MATLAB内部函数diag，利用一个向量构成对角阵；或从矩阵中提取某对角线构成一个向量。使用格式为diag(V)和diag(V,k)两种。6.用一个向量V构成一个对角阵设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个mm阶对角阵，其主对角线的元素值即为向量的元素值；diag(V,k)将产生一个nn(n=m+

5、k

6、，k为一整数)阶对角阵，其第k条对角线的元素值即为向量的

7、元素值。注意：当k＞0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k＜0，该对角线位于主对角线的下方第

8、k

9、条；当k=0，则等同于diag(V)。用diag建立的对角阵必是方阵。一、特殊矩阵的实现【例2】已知向量v，试建立以向量v作为主对角线的对角阵A；建立分别以向量v作为主对角线两侧的对角线的对角阵B和C。MATLAB程序如下：v=[1;2;3];%建立一个已知的向量AA=diag(v)A=100020003B=diag(v,1)B=0100002000030000C=diag(v,-1)C=00001

10、0000200003%按各种对角线情况构成相应的对角阵A、B和C一、特殊矩阵的实现7.从矩阵中提取某对角线我们也可以用diag从矩阵中提取某对角线构成一个向量。设A为mn阶矩阵，diag(A)将从矩阵A中提取其主对角线产生一个具有min(m,n)个元素的向量。diag(A,k)的功能是：当k＞0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的上方第k条对角线构成一个具有n-k个元素的向量；当k＜0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的下方第

11、k

12、条对角线构成一个具有m+k个元素的向量；当k=0，则等同于diag(A)

13、。一、特殊矩阵的实现【例3】已知矩阵A，试从矩阵A分别提取主对角线及它两侧的对角线构成向量B、C和D。MATLAB程序如下：A=[123;456];%建立一个已知的23阶矩阵A%按各种对角线情况构成向量B、C和DB=diag(A)B=15C=diag(A,1)C=26D=diag(A,-1)D=4一、特殊矩阵的实现8.上三角阵：使用格式为triu(A)、triu(A,k)设A为mn阶矩阵，triu(A)将从矩阵A中提取主对角线之上的上三角部分构成一个mn阶上三角阵；triu(A,k)将从矩阵A中

14、提取主对角线第

15、k

16、条对角线之上的上三角部分构成一个mn阶上三角阵。注意：这里的k与diag(A,k)的用法类似，当k＞0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k＜0，该对角线位于主对角线的下方第

17、k

18、条；当k=0，则等同于triu(A)一、特殊矩阵的实现【例4】试分别用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)从矩阵A提取相应的上三角部分构成上三角阵B、C和D。MATLAB程序如下：A=[123;456;789;987];%一个已知