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1、第4章 线性代数中的数值计算4.1特殊矩阵的生成4.1.1通用的特殊矩阵●zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。●ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。●eye函数：产生单位矩阵，即对角线上的元素为1、其余元素为0的矩阵。●rand函数：产生0～1均匀分布的随机矩阵。●randn函数：产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机矩阵。这几个函数的调用格式相似：如果参数是一个，那么创建一个方阵,行数和列数均为这个数；如果参数有两个，第一个参数代表行数，第二个参数代表列数。zeros函数的调用格式如下。●ze
2、ros(m)：产生m×m零矩阵。●zeros(m,n)：产生m×n零矩阵。当m=n时，等同于zeros(m)。●zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。【例4.1】分别建立3 × 3、3 × 2和与矩阵A同样大小的零矩阵。（1）建立一个3 × 3的零矩阵。zeros(3)ans=000000000（2）建立一个2 × 3的零矩阵。zeros(2,3)（3）设A为2 × 3矩阵，则可以用zeros(size(A))建立一个与矩阵A同样大小的零矩阵。A=[123;456];%产生一个2×
3、3阶矩阵Azeros(size(A))%产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵【例4.2】建立随机矩阵：（1）在区间[10, 30]内均匀分布的4X4随机矩阵。（2）均值为0.6、方差为0.1的4X4正态分布随机矩阵。若想得到在任意[a, b]区间上均匀分布的随机数，可用yi= a + (b −a)xi计算.xi为(0,1)区间均匀分布的随机数矩阵，可用rand函数产生。要得到均值为μ、方差为σ的随机数，可用yi=μ+σxi计算出来。xi为均值为0、方差为1的标准正态分布随机数矩阵，可用randn函数。a=1
4、0;b=30;x=a+(b-a)*rand(4)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(4)4.2矩阵分析4.2.1矩阵结构变换1．对角阵（1）提取矩阵的对角线元素设A为m×n矩阵，函数diag(A)用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。A=[1,2,3;4,5,6]A= 123456D=diag(A)D=15diag(A,k)提取第k条对角线的元素。主对角线为第0条对角线；与主对角线平行，往上为第1条，第2条，…，第n条对角线，往下为第 −1条，第 −2条，…，第
5、 −n条对角线。（2）构造对角矩阵diag(V,k)的功能是产生一个n×n（n=m+
6、k
7、）对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。例如：diag(1:3,-1)ans= 0000100002000030省略k时，相当于k为0，其主对角线元素即为向量V的元素。2．三角阵上三角阵是对角线以下的元素全为0的一种矩阵.下三角阵是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。triu(A,k)，其功能是求矩阵A的第k条对角线以上的元素。提取矩阵A的下三角矩阵的函
8、数是tril(A)和tril(A,k)3．矩阵的转置转置运算符是单撇号(')。4．矩阵的旋转利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90°的k倍，当k为负整数时，对矩阵A按顺时针方向进行旋转；当k为1时可省略。A=[9,37,38;-2,31,8;0,84,5];B=rot90(A)B=38853731849-20rot90(A,4)ans=93738-231808455．矩阵的翻转左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换……依此类推。对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A
9、)。对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。4.2.2矩阵求值1．方阵的行列式值求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。A=[1:3;2:-1:0;12,5,9]A=1232101259B=det(A)B=-332．矩阵的秩与迹（1）矩阵的秩rank(A)（2）矩阵的迹矩阵的迹即矩阵的对角线元素之和。trace(A)3．向量和矩阵的范数函数norm用于计算矩阵或向量的范数，norm函数的格式如下。●norm(X,1)：求向量或矩阵X的1−范数。●norm(X)、norm(X,2)：求向量
10、或矩阵X的2−范数。●norm(X,inf)：求向量或矩阵X的∞− 范数。4.2.3矩阵的特征值与特征向量对于n阶方阵A，求数λ和向量ζ，使得等式Aζ=λζ成立，λ称为A的特征值，向量ζ称为A的特征向量。计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)。●E =eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。●[V,D] =eig(A)：矩阵A的特征值构成对角阵D，A的特征向量构成V的列向量。一个矩阵的特征向量有无穷多个，eig函数只找出其
