扩展Dicke模型的量子相变.doc

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1、3扩展Dicke模型的热力学极限性质13.1正常相23.2超辐射相43.3相变讨论83.4系统量子纠缠和量子关联133扩展Dicke模型的热力学极限性质早在1954年Dicke『23]提出了N个两能级原子的集体相干辐射率超过单独的N个原子自发的辐射率，原子集体属于一种相干的辐射。把N个自发辐射的原子放在光学腔场里，所有原子和一个共同的辐射场发生作用，因此不能简单看成每个原子是独立的自发辐射态。由于原子之间的距离比辐射波长小很多，但是比粒子物质波长大许多，这样原子之间相互作用可以忽略，但是可以形成相

2、干自发辐射波。他说，该系统中的这些相关多个原子态展示的非同寻常的大辐射率叫“超辐射态”(super-radiance)。超辐射态是指原子集体激发的密度与N2成比例，而不是N，原子是相干辐射的。这样，由N个两能级原子和单模玻色场相互作用的系统叫做Dicke模型。这是凝聚态物理和量子光学关联的一个重要物理模型，比如在研究量子点中的超辐射行为『641，玻色一爱因斯坦凝聚f651以及一些耦合的光学腔场模拟强关联系统的行为[66]，量子电动腔场QED等系统中有广泛的应用。Dicke模型中原子看成是由N个相同

3、但可区别的两能级原子形成的集体系统，并且每个原子的上下能级差为。Dicke哈密顿量描述玻色场与N个原子的相互作用如同在一个理想腔场里的偶极子作用。这里，多个两能级原子看成是由N个相同但可区别的集体系统，并且每个原子的上下能级差为。其中，第i个原子可以描述成一个自旋的算符，遵从对易关系我们考虑单模波色场的情况，这些两能级原子与频率为的单模玻色场发生作用，耦合强度为，扩展的Dicke模型哈密顿量可以写成（3-1）这里，是波色产生和湮灭算符，为原子-原子相互作用项，这里为Ising耦合。原子-波色场相互

4、作用项出现的因为是因为偶极子耦合强度最初与成比例，是强场体积。强场里原子密度,因此耦合强度正比于，带入相互作用项我们得到因子。利用原子算符的集体算符形式，,这些算符遵从一般的角动量对易关系希尔伯特空间可以按照Dicke态展开，Dicke态是和的本征态：。上升和下降算符作用在这些态上得到：。是Dicke态的“共同量子数”，当N确定后，取值为，我们选择的最大值。个两能级原子系统可以看成是一个能级的系统，总的赝自选矢量长度。利用集体算符，上面的哈密顿量可以表示为（3-2）热力学极限下，原子个数无穷，也就

5、是说角动量，零温下，扩展Dicke模型在耦合强度会发生量子相变。为了描述这种相变，把哈密顿量分成两个有效哈密顿量，一个描述正常相的系统，另一个描述对称性破缺的超辐射相。首先角动量部分做Holstein-Primakoff皮化，用玻色子表示，并且玻色算符满足对易关系。将上述变化带入哈密顿量（3-2），可以得到两类玻色子的哈密顿量（3-3）3.1正常相通过对哈密顿量（3-3）中含的项做简单的近似处理：因为，所以令。我们得到系统正常相的有效的哈密顿量（3-4）为了将这个含有双线性的玻色算符的哈密顿量对角

6、化，引入以下两个具有玻色模式的位置和动量算符：令，用上面的位置动量算符去表示正常相的哈密顿量（3-4）：（3-5）用下面的方法变化位置算符，即将平面旋转一个角度到另一个平面上，可以将上面的哈密顿量对角化：，，（3-6）这里旋转角度满足条件：对于共振态，，这时和。这样的变化消除了哈密顿量中的相互作用项，得到两种退耦合谐振子的形式（3-7）现在引进两个新的玻色算符去量子化哈密顿量（3-8）故对角形式的哈密顿量为（3-9）这里使得哈密顿量对角化的玻色算符是玻色算符的线性组合。至此，我们就得到了正常相的两

7、支独立震荡模式的能量表：（3-10）如果激发态能量是实数，那么必须满足条件，等价于。因此可以看到哈密顿量仅在有效，即正常相。在正常相，系统的基态能量是：（3-11）这里忽略了高阶项，而上面的激发态能量是忽略了，也就是说在基态上面的激发态谱在是准连续的。3.2超辐射相为了描述超辐射相，考虑到场与原子系综都有宏观占据数，采用Holstein-Primakoff变换去转换哈密顿量（3-3），假设两类玻色子算符做如下变化严格来说，我们做上面的变换，其实就意味着平移参量和是，也就是说在时，他们满足非零宏观场

8、。将上面的平移算符带入H-P变换的式子中，可以得到（3-12）其中根式为，并且。在热力学极限下将根式按照幂级数绽开至，则将式子（3-12）代入哈密顿量（3-3），这样我们得到了含有的双线性项的哈密顿量（3-13）现在用平移算符将波色算符的线性项消除掉，所以（3-14）平庸解是满足正常相哈密顿量的解，这里对超辐射相有意义的解是（3-15）这里，而且令。利用这些参量，获得了有效哈密顿量（3-16）为了促进这个双线性哈密顿量的对角化，我们引进如下定义的位置-动量算符：（3-17）这样超辐