积分变换课件.ppt

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1、拉普拉斯变换1对于一个函数j(t),有可能因为不满足傅氏变换的条件,因而不存在傅氏变换.因此,首先将j(t)乘上u(t),这样t小于零的部分的函数值就都等于0了.而大家知道在各种函数中,指数函数ebt(b>0)的上升速度是最快的了,因而e-bt下降的速度也是最快的.因此,几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在2tf(t)Otf(t)u(t)e-btO3对函数j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换,可得4定义设函数f(t)当t0时有定义,而且积分在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为称此

2、式为函数f(t)的拉普拉斯变换式(简称拉氏变换式),记为F(s)=L[f(t)]F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为象函数).而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为f(t)=L-1[F(s)]也可记为f(t)F(s).5例1求单位阶跃函数根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)>0时收敛,而且有6例2求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).根据(2.1)式,有这个积分在Re(s)>k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为Re(s)>Re(k)7拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足:1,在t0的任一有限区间上分段连续

3、2,当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M>0及c0,使得

4、f(t)

5、Mect,0t<则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的积分在Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛,并且在Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数.8MMectf(t)tO9证由条件2可知,对于任何t值(0t<),有

6、f(t)e-st

7、=

8、f(t)

9、e-btMe-(b-c)t,Re(s)=b,若令b-ce>0(即bc+e=c1>c),则

10、f(t)e-st

11、Me-et.所以根据含参量广义积分的性质可知,在Re(

12、s)c1>c上拉氏变换的积分不仅绝对收敛而且一致收敛.10在(2.1)式的积分号内对s求导,则由此可见,上式右端的积分在半平面Re(s)c1>c内也是绝对收敛且一致收敛,从而微分与积分可以交换11因此得这就表明,F(s)在Re(s)>c内是可微的.根据复变函数的解析函数理论可知,F(s)在Re(s)>c内是解析的.12例3求f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换13同理可得14G-函数(gamma函数)简介,在工程中经常应用的G-函数定义为利用分部积分公式可证明15例4求幂函数f(t)=tm(常数m>-1)的拉氏变换.为求此积分,若令st=u,s为右半平面内任

13、一复数,则得到复数的积分变量u.因此,可先考虑积分16积分路线是OB直线段,B对应着sR=rRcosq+jrRsinq,A对应着rRcosq,取一很小正数e,则C对应se=recosq+jresinq,D对应recosq.考察R,的情况.qaODCAt(实轴)虚轴Bv17根据柯西积分定理,有181920同理2122例5求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换bOb2b3b4btf(t)23242526满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处有界时,积分中的下限取0+或0-不会影响其结果.但如果f(t)在t=0处包含脉冲函数时,就必须明确指

14、出是0+还是0-,因为27当f(t)在t=0处有界时,则当f(t)在t=0处包含了脉冲函数时,则28为了考虑这一情况,需将进行拉氏变换的函数f(t),当t0时有定义扩大为当t>0及t=0的任意一个邻域内有定义.这样,原来的拉氏变换的定义但为了书写方便起见,仍写成(2.1)式的形式.29例6求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换.30例7求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b>0)的拉氏变换.31在今后的实际工作中,我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏变换,有现成的拉氏变换表可查,就如同使用三角函数表,对数表及积分表一样.本书已将工程实际中常遇到的一

15、些函数及其拉氏变换列于附录II中,以备查询.32例8求sin2tsin3t的拉氏变换33