运用基本不等式必备的变形技巧.docx

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1、.运用基本不等式必备的变形技巧基本不等式abab(a0,b0,当且仅当a=b时等号成立）在不等式的证明、求解或者解决其2它问题中都起到了十分重要的工具性作用,在利用基本不等式求解函数最值问题时,有些题目可以直接利用公式求解，有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解．下面介绍一些常用的变形技巧．一、配凑1.凑系数例1当00，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和不是定值．注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即

2、可．解∵00,∴y=x(8-2x)=1[2x(82x)]1(2x82x)2=8，222当且仅当2x=8-2x即二=2时取等号，∴当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑上系数后即可得到和为定值，就可利用均值不等式求得最大值．2.凑项例2己知x<5，求函数f(x)=4x-2+1的最大值．44x5分析由已知4x-5<0，首先调整符号，又(4x-2)·1不是定值，故需对4x-2进行凑项得到定值.4x5解∵x<5，∴5-4x>0，4∴f(x)=4x-2+1=-(5-4x+1＋3≤-2(54x)14x5

3、)+3=-2+3=1，54x54x当且仅当5-4x=1，即x=1时等号成立.54x点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项，使其积为定值．3.分离例3求yx27x10(x1)的值域.x1分析本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出(x+1)，再将其分离．x27x10(x1)25(x1)4(x1)45.解yx1x1x1当x+1＞0,即x>-1时，y2(x45=9(当且仅当x=1时取“=”号)；1)x1当x+1<0,即x<-1时,y52(x4=1(当且仅当x=-3时取“=”号)；1)x1..2∴yx7x10(x1)的值域为(-∞,1]∪[9,+∞).x1点评：

4、分式函数求最值，通常化成y=Mg(x)+A+B(A>0,M>0,g(x)恒正或恒负)的形式，然后运用均g(x)值不等式来求最值．二、整体代换例4已知a>0,b>0，111,求t=a+2b的最小值.ab分析不妨将a+2b乘以1，将1用11代换.ab解(a＋2b)·=(a+2b)(11)=3＋2ba322ba322,当且仅当2ba时取“=”abababab号.2ba,a21,由ab得21,11b1,2aba21,的最小值为322.即b2时，t=a+2b1,2点评：本题巧妙运用“1”的代换，得到t=32ba,而2b与a的积为定值，即可用均值不每式abab求得t=a+

5、2b的最小值．三、换元例5求函数yx2的最大值．2x5分析变量代换，令t=x2，则x=t2-2(t≥0)则，y2tt11，再利用均值不等式即可．22t1t解令t=x2,x=t2-2(t≥0),则y2tt．21当t=0时，y=0；当t＞0时，y112，当且仅当2t=1,即t=2时取“=”号，1214t22t2ttt∴x=-3时,ymax=2.24点评：本题通过变量代换，使问题得到了简化，而且将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题，从..而为构造积为定值创设了有利条件．四、取平方例6求函数y2x152x(1x5)的最大值．22分析注意到2x-1与5-2x的和为定值

6、．r解y2(2x152x)242(2x1)(52)4(2x1)(52x)8,x又y>0，∴0