运用基本不等式必备的变形技巧.doc

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1、运用基本不等式必备的变形技巧基本不等式当且仅当a=b时等号成立）在不等式的证明、求解或者解决其它问题中都起到了十分重要的工具性作用,在利用基本不等式求解函数最值问题时,有些题目可以直接利用公式求解，有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解．下面介绍一些常用的变形技巧．一、配凑1.凑系数例1当00，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和不是定值．注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可．

2、解∵00,∴y=x(8-2x)==8，当且仅当2x=8-2x即二=2时取等号，∴当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑上系数后即可得到和为定值，就可利用均值不等式求得最大值．2.凑项例2己知x<，求函数f(x)=4x-2+的最大值．分析由已知4x-5<0，首先调整符号，又(4x-2)·不是定值，故需对4x-2进行凑项得到定值.解∵x<，∴5-4x>0，∴f(x)=4x-2+=-(5-4x+)＋3≤-2+3=-2+3=1，当且仅当5-4x=，即x=1时等号成立.点评：本题

3、需要调整项的符号，又要配凑项，使其积为定值．3.分离例3求的值域.分析本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出(x+1)，再将其分离．解当x+1＞0,即x>-1时，=9(当且仅当x=1时取“=”号)；当x+1<0,即x<-1时,=1(当且仅当x=-3时取“=”号)；∴的值域为(-∞,1]∪[9,+∞).点评：分式函数求最值，通常化成y=Mg(x)++B(A>0,M>0,g(x)恒正或恒负)的形式，然后运用均值不等式来求最值．二、整体代换例4已知a>0,b>0，,求t=a+2b的最小值.分析不妨将a+2b乘以1，将1用代换.解(a＋2

4、b)·=(a+2b)()=3＋,当且仅当时取“=”号.由得即时，t=a+2b的最小值为.点评：本题巧妙运用“1”的代换，得到t=,而与的积为定值，即可用均值不每式求得t=a+2b的最小值．三、换元例5求函数的最大值．分析变量代换，令t=，则x=t2-2(t≥0)则，，再利用均值不等式即可．解令t=,x=t2-2(t≥0),则．当t=0时，y=0；当t＞0时，，当且仅当2t=,即t=时取“=”号，∴x=-时,ymax=.点评：本题通过变量代换，使问题得到了简化，而且将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题，从而为构造积为定值创设了有利条件．四

5、、取平方例6求函数的最大值．分析注意到2x-1与5-2x的和为定值．r解,又y>0，∴0