对数函数（第二课时）.doc

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1、对数函数（第二课时） 【学习目标】1．巩固对数函数的概念、图象和性质．2．掌握与对数函数有关的复合函数的性质，如奇偶性、单调性、值域等的求解方法． 【学习障碍】1．应用图象和性质解题时忽略对底数的分类讨论．2．研究复合函数的有关性质时忽略对定义域的考查． 【学习策略】Ⅰ．学习导引1．阅读课本P83~85页．2．本课时的重点是应用对数函数的图象和性质去解决综合性问题，难点是有关复合函数有关单调性、奇偶性的判断，求证．3．本课时用到的主要知识及方法．（1）利用图象法研究对数函数的有关性质．对数函数的图象要分底数a＞1及0＜a＜1讨论．对于几个底数都大于1的对数函数，

2、底数越大，函数图象向右的方向越接近x轴；对于几个底数都大于0而小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴．以上规律可总结成“底大头低”四个字来理解．实际上，作出直线y＝1与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小．如图2—14所示：利用图象法研究不同底的两个对数函数的有关性质时特别方便．（2）利用“同增异减”性的方法求复合函数的单调区间时，一定要先考查定义域．如y＝log2（x2－2x）先要考查x2－2x＞0，即x＜0或x＞2，然后再“同增异减”．利用定义法判断复合函数的奇偶性时，也要先考查函数的定义域，若关于原点对称，则应用定义，否则为非奇非偶函数

3、．关于复合函数的研究还常用换元法等方法．［例］已知loga2＞logb2＞0，判断a、b的大小．分析：用图象法．解析：由两个函数值均大于0知a、b都大于1，作出两个底数大于1的对数函数y＝logax、y＝logbx的图象，找出横坐标2对应的两个函数值．由loga2＞logb2确定两个图象对应的解析式．由“底大头低”的规律知b＞a＞1．如2—15所示：4．在学习中，应继续充分运用互为反函数的两个函数的图象和性质的对应关系，由已掌握的指数函数的图象和性质，帮助学习理解对数函数的图象和性质，结合本节的学习，要进一步培养数形结合、分类讨论等数学思想方法的应用能力．Ⅱ．知

4、识拓宽在前面我们已经学过原函数与反函数性质的一些对应关系，如：①原函数的定义域、值域、对应法则，分别是其反函数的值域，定义域，逆对应法则．②原函数的图象与其反函数的图象关于y＝x对称．③原函数增，反函数增；例y＝2x，y＝log2x原函数减，反函数减；例y＝（）x，y＝原函数是奇函数，反函数是奇函数；例y＝x3是奇函数，y＝是奇函数．原函数是偶函数，反函数不存在（f（x）＝a，x∈{0}除外）（以上所说，函数都在各自定义域上）如1．y＝的反函数是y＝log2（x>1或x＜1）y＝是奇函数，y＝log2也为奇函数，证明f（x）＝log2为奇函数．证明：f（x）＝l

5、og2，f（－x）＝log2＝log2＝log2（）－1＝－f（x）∴f（x）＝log2为奇函数．如2．f（x）＝lg（＋x）的反函数是y＝．f（x）＝lg（＋x）为奇函数，则y＝也为奇函数求证：f（x）＝lg（＋x）为奇函数．证明：f（－x）＋f（x）＝lg（－x）＋lg（＋x）＝lg（1＋x2－x2）＝0∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝lg（＋x）为奇函数．Ⅲ．障碍分析1．如何求指数函数、对数函数的反函数？［例1］求下列函数的反函数：（1）y＝，x∈（1，＋∞）;（2）y＝log2（x2－2x＋3），x∈（－∞，1］．解：（1）由y＝>0，得x2－2x

6、＋3＝log2y，即（x－1）2＝log2y－2．∵x>1，∴x－1＝，x＝1＋;又当x>1时，y＝＝＋2>4，故所求反函数为f－1（x）＝1＋（x>4）．（2）由y＝log2（x2－2x＋3），得x2－2x＋3＝2y，即（x－1）2＝2y－2．∵x≤1，∴x－1＝－，x＝1－．又当x≥1时，y＝log2（x2－2x＋3）＝log2［（x－1）2＋2］≥1．故所求反函数为f－1（x）＝1－（x≥1）点评:①求反函数时要指出它的定义域，这可以通过研究原函数的值域来求．②主要按三步走：一求，二换，三定．2．如何求有关对数函数的定义域？［例2］求下列函数的定义域：（1

7、）y＝log（x＋2）（2）y＝（3）y＝解：（1）要使函数有意义，则∴故所求函数的定义域是（－2，－1）∪（－1，－）∪（2，＋∞）．（2）要使函数有意义，则1－loga（x＋a）>0，即loga（x＋a）＜1．若0＜a＜1，则x＋a>a，∴x>0;若a>1，则0＜x＋a＜a，∴－a＜x＜0．因此，当a>1时，所求定义域为（－a，0）;当0＜a＜1时，所求定义域为（0，＋∞）．（3）由已知得（1－x－6x2）≥0，∴0＜1－x－6x2≤1．解之，得－＜x≤－或0≤x＜．故所求定义域为（－］∪［0，）．点评：求函数的定义域应注意以下问题：①分式中分母不等于零；②

8、偶次根式中被开方数大于或