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1、《函数值域的常用求法》发表在《学习报》2010-2011第2期总第1114期第2版2010年7月9日国内统一刊号CN14-00708/(F)邮发代码：21-79函数值域的常用求法特级教师王新敞函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．求函数值域的类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．求函数值域的基本方法有：1．直接法：利用常见函数的值域来求．⑴一次函数()的定义域为R，值域为R；⑵反比例函数的定义域为{x
2、x0}，值域为{y
3、y0}；⑶二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0
4、时，值域为{}．⑷＂双勾＂函数的值域为．2．配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值．常转化为型如：的形式；例1求函数的值域．解：，∴的值域为．变式：求函数，的值域．解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为．∴函数，的值域为．3．分式转化法（或称为“分离常数法”）例2求函数,的值域．解：把已知函数化为函数()由此可得∴函数,的值域为4．换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；例3函数y=x+的值域是()A(－∞,1B(－∞,－1 CRD［1,+∞解令=t(t≥0),则x=从而有y=+t=－(t－1)2+1≤1(t≥0)∴
5、值域为(－∞,1故选A．5．三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；例4求函数的值域：解∵，∴可设，则∵，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．例5求函数的值域.解原函数可化为：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．6．基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；例6求函数的值域.解：，∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．∴，∴原函数的值域为．7．单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域.例7函数y=x2+(x≤－)的值域是()A(－∞,－B［－,+∞ C［,+∞ D(－∞,－］解析∵m1=x2在(－∞,－）上是减函数，m2=在(－∞,
6、－）上是减函数，∴y=x2+在x∈(－∞,－)上为减函数,∴y=x2+(x≤－)的值域为［－，+∞故选B．8．数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域.例8 求函数y=
7、x+1
8、+
9、x-2
10、的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y
11、y3}.解法2：∵函数y=
12、x+1
13、+
14、x-2
15、表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，如图∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].9．判别式法：例9函数的最大值或最小值．解法1：(判别式法)将转化为关于的一元二次方程（看作参数）：(这是一个必有解的方程！因此讨论使上方程有解的参数的范围，恰
16、为函数的值域）①若，则矛盾，方程无解，∴，②由，这时，，解得，且当时，，∴函数的值域为．因此函数的最大值是，无最小值．解法2:(分离常数法)由∵，∴，∴函数的最大值是，无最小值．对于形如（）的二次分式函数的求值域问题，总可以采取分离常数法解决．只有当函数（）的定义域没有额外限制条件时才能够使用判别式法求解．例10已知函数f(x)=,x∈［1,+∞(1)当a=时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a=时，f(x)=x++2∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)=(2)解法一在区间［
17、1，+∞上，f(x)=>0恒成立x2+2x+a>0恒成立设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3解法二f(x)=x++2,x∈［1,+∞当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3解法三因为当x∈［1,+∞时，f(x)=x++2>0恒成立，所以当x∈［1,+∞时，恒成立．令，x∈［1,+∞则．故本题主要考查函数的最小值以
18、及单调性问题，着重于综合分析能力以及运算能力主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得解法三运用了含有参数的恒成立不等式相关结论，这种方法只使用于能够将参数单独解出到一端的情况
