函数的定义域及求法讲解.doc

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1、一、函数的定义域及求法[例题]：1、求下列函数的定义域3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]   当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→原函数的定义域为R；   当m≠0时，则mx2-4mx+m+3＞0，        ①m＜0时，显然原函数定义域不为R；        ②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，    所以当m∈[0,1)时，原函数定义域为R．4、求函数y=log2x+1(x≥4)的反函数的定义域．[解

2、析]：［求原函数的值域］   由题意可知，即求原函数的值域，    ∵x≥4, ∴log2x≥2   ∴y≥3   所以函数y=log2x+1(x≥4)的反函数的定义域是[3，+∞)．5、函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log2x)的定义域．[解析]：由题意可知2-1≤2x≤21     → f(x)定义域为[1/2，2]      →1/2≤log2x≤2  →√￣2≤x≤4．所以f(log2x)的定义域是[√￣2,4]．二、函数的值域及求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变

3、量法．[例题]：：求下列函数的值域    [解析]：1、[利用求反函数的定义域求值域]先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2)，其中x≠2， 由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R

4、y≠2}2、[利用反比例函数的值域不等于0]由题意可得，　　　　　　　　　　因此，原函数的值域为[1/2,+∞)4、[利用分离变量法和换元法]　设法2x＝t，其中t＞0，则原函数可化为y=(t+1)/(t-1)  →t=(y+1)/(y-1)＞０　∴y>1或y<-15、[利用零点讨论法]   由题意可知函数有3个零点-3，1，2，   ①当x<-3时，

5、y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x        ∴y>9   ②当-3≤x<1时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6    ∴5

6、数的单调性的判定]    由题意可得原函数的定义域是（－１，４），    设u=4+3x-x2，其对称轴是x=3/2，  所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2]上单调递增；在区间[3/2，4）上单调递减．   ①a＞１时，y=logau在其定义域内为增函数，由x↑→u↑→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2]，即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．   ②０＜a＜１时，y=logau在其定义域内为减函数，由x↑→u↓→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2，4），即为函数y=loga(4+3

7、x-x2)的单调递增区间．3、已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围。[解析]：[利用复合函数的单调性的判定]   由题意可知，a＞０．设u＝g(x)=2－ax，则g(x)在［０，１］上是减函数，且x=１时，g(x)有最小值umin=2-a．　　　又因为u＝g(x)＝2－ax＞０，所以，只要umin=2-a＞０则可，得a＜２．　　　又y=loga(2-ax)在[0，1]上是x减函数，u＝g(x)在［０，１］上是减函数，即x↑→u↓→y↓，所以y=logau是增函数，故a＞１．　　　综上所述，得１＜a＜2．４、已知f(x)的

8、定义域为（０，＋∞），且在其上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，试解不等式f(x)+f(x-2)<3．［解析］：［此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值］　　　　由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2，3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8)　　　　又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x)　　　　所以原不等式可化成f(x2-2x)

9、2

10、数，    即，f(x)=-f(x)，∴原函数是奇函数．②［利用作商法判断］由题