函数的定义域及求法讲解

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1、函数作者:刘铁峰(高中数学 赤峰数学一班)  评论数/浏览数:1/37  发表日期:2011-07-0816:32:19 性质及其应用函数的性质及其应用是高考数学的重点和热点.熟练掌握函数的性质,能灵活运用函数的性质解决有关问题,是高考数学获胜的一个重要方面.因此,临考前对函数的性质及应用作适当的复习和思路整理是有必要的.一、函数的定义域及求法   1、分式的分母≠0;偶次方根的被开方数≥0;   2、对数函数的真数>0;对数函数的底数>0且≠1;   3、正切函数:x≠kπ+π/2,k∈Z;余切函数:x≠kπ,k∈Z;   4、一次函数、二次函数、指数函数的定义

2、域为R;   5、定义域的相关求法:利用函数的图象(或数轴)法;利用其反函数的值域法;   6、复合函数定义域的求法:推理、取交集及分类讨论.[例题]:1、求下列函数的定义域3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R,求实数m的取值范围.[解析]:[利用复合函数的定义域进行分类讨论]   当m=0时,则mx2-4mx+m+3=3,→原函数的定义域为R;   当m≠0时,则mx2-4mx+m+3>0,        ①m<0时,显然原函数定义域不为R;        ②m>0,且△=(-4m)2-4m(m+3)<0时,即0<m<1,原函数定义域为R,

3、    所以当m∈[0,1)时,原函数定义域为R.4、求函数y=log2x+1(x≥4)的反函数的定义域.[解析]:[求原函数的值域]   由题意可知,即求原函数的值域,    ∵x≥4, ∴log2x≥2   ∴y≥3   所以函数y=log2x+1(x≥4)的反函数的定义域是[3,+∞).5、函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域.[解析]:由题意可知2-1≤2x≤21     → f(x)定义域为[1/2,2]      →1/2≤log2x≤2  →√ ̄2≤x≤4.所以f(log2x)的定义域是[√ ̄2,4].二、函数的值域及求法

4、   1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R;   2、二次函数的值域:当a>0时,y≥-△/4a,当a<0时,y≤-△/4a;   3、反比例函数的值域:y≠0;   4、指数函数的值域为(0,+∞);对数函数的值域为R;   5、正弦、余弦函数的值域为[-1,1](即有界性);正切余切函数的值域为R;   6、值域的相关求法:配方法;零点讨论法;函数图象法;利用求反函数的定义域法;换元法;利用函数的单调性和有界性法;分离变量法.[例题]::求下列函数的值域    [解析]:1、[利用求反函数的定义域求值域]   先求其反函数:f-1(x)=(3x+1)/

5、(x-2),其中x≠2,   由其反函数的定义域,可得原函数的值域是y∈{y∈R

6、y≠2}2、[利用反比例函数的值域不等于0]由题意可得,          因此,原函数的值域为[1/2,+∞)4、[利用分离变量法和换元法] 设法2x=t,其中t>0,则原函数可化为y=(t+1)/(t-1)  →t=(y+1)/(y-1)>0 ∴y>1或y<-15、[利用零点讨论法]   由题意可知函数有3个零点-3,1,2,   ①当x<-3时,y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x        ∴y>9   ②当-3≤x<1时,y=-(x-1)+(x+3)-(x-

7、2)=-x+6    ∴5

8、例题]:2、设a>0且a≠1,试求函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间.[解析]:[利用复合函数的单调性的判定]    由题意可得原函数的定义域是(-1,4),    设u=4+3x-x2,其对称轴是x=3/2,   所以函数u=4+3x-x2,在区间(-1,3/2]上单调递增;在区间[3/2,4)上单调递减.   ①a>1时,y=logau在其定义域内为增函数,由x↑→u↑→y↑,得函数u=4+3x-x2的单调递增区间(-1,3/2],即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间.   ②0<a<1时,y=logau在其定义域内为减函数,由x

9、↑→u↓→

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