函数的定义域与求法讲解

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1、函数一、函数的定义域及求法   1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；   2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；   3、正切函数：x≠kπ+π/2,k∈Z；余切函数：x≠kπ,k∈Z；   4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；   5、定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；   6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．[例题]：1、求下列函数的定义域3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]   

2、当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→原函数的定义域为R；   当m≠0时，则mx2-4mx+m+3＞0，        ①m＜0时，显然原函数定义域不为R；        ②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，    所以当m∈[0,1)时，原函数定义域为R．4、求函数y=log2x+1(x≥4)的反函数的定义域．[解析]：［求原函数的值域］   由题意可知，即求原函数的值域，    ∵x≥4, ∴log2x≥2   ∴y≥3   所以函数y=log2x+1(x≥4)的反函数的定义域是[3，+∞)

3、．5、函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log2x)的定义域．[解析]：由题意可知2-1≤2x≤21     → f(x)定义域为[1/2，2]      →1/2≤log2x≤2  →√￣2≤x≤4．所以f(log2x)的定义域是[√￣2,4]．二、函数的值域及求法   1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；   2、二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a，当a＜0时，y≤-△/4a；   3、反比例函数的值域：y≠0；   4、指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；   5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即

4、有界性）；正切余切函数的值域为R；   6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．[例题]：：求下列函数的值域    [解析]：1、[利用求反函数的定义域求值域]   先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2)，其中x≠2，   由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R

5、y≠2}2、[利用反比例函数的值域不等于0]由题意可得，　　　　　　　　　　因此，原函数的值域为[1/2,+∞)4、[利用分离变量法和换元法]　设法2x＝t，其中t＞0，则原函数可化

6、为y=(t+1)/(t-1)  →t=(y+1)/(y-1)＞０　∴y>1或y<-15、[利用零点讨论法]   由题意可知函数有3个零点-3，1，2，   ①当x<-3时，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x        ∴y>9   ②当-3≤x<1时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6    ∴5

7、数的值域是[5,+∞)6、[利用函数的有界性]三、函数的单调性及应用1、A为函数f(x)定义域内某一区间，    2、单调性的判定：作差f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；3、复合函数的单调性的判定：f(x),g(x)同增、同减，f(g(x))为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x))为减函数．[例题]：2、设a＞0且a≠1，试求函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．[解析]：[利用复合函数的单调性的判定]    由题意可得原函数的定义域是（－１，４），    设u=4+3x-x2，其对称轴是x=3/2，   所以函

8、数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2]上单调递增；在区间[3/2，4）上单调递减．   ①a＞１时，y=logau在其定义域内为增函数，由x↑→u↑→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2]，即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．   ②０＜a＜１时，y=logau在其定义域内为减函数，由x↑→u↓→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2，4），即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．3、已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围。[解析]：[利用复合函

9、数的单调性的判定]   由题意可知，a＞０．设u＝g(x)=2－ax，则g(x)在［０，１］上是减函数，且x