高中数学不等式的恒成立问题.doc

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1、高中数学不等式的恒成立问题高三数学备课组肖英文2011-11-23不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己教学谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。题型一：构造函数法（利用一次函数的性质）在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数

2、，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例如;类型1：对于一次函数有：(ⅰ)，或(ⅱ)；亦可合并定成；例1.对于满足

3、a

4、2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为

5、在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0,设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.引申：在不等式中出现3个字母：、、已知函数是定义在上的奇函数，且，若，，有，（1）证明在上的单调性；（2）若对所有恒成立，求的取值范围。分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是的范围，所以根据上式将当作变量，作为常量，而则根据函数的单调性求出的最大值即可。（1

6、）简证：任取且，则又是奇函数在上单调递增。（2）解：对所有，恒成立，即，即在上恒成立。。例2.已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即解得故的取值范围是. 评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决

7、了。题型二：分离参数法类型1：.类型2：对于任意的恒成立，或在上的图像始终在的上方.（通常移项，使即可；若的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在上的图像始终在的上方即可.）在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.例3.设奇函数上是增函数，且若函数对所有的都成立，当时，则t的取值范围是(D)A．B．C．D．例4.已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数.（Ⅰ）

8、若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围.解析：由题意知，函数在区间上是减函数.在上恒成立  注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.题型三：数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例5.已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是       .解：在同一个平面

9、直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是  注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.题型四：最值法当不等式一边的函数（或代数式）的

10、最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.例6.　已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.例7.对于任意实数x，不等式│x+1│