五年级奥数第10讲质数与合数.docx

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1、第10讲质数与合数　　自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：　　第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。　　第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。这类自然数叫质数（或素数）。例如，2，3，5，7，…　　第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如，4，6，8，9，15，…　　上面的分类方法将自然数分为质数、

2、合数和1，1既不是质数也不是合数。　　例11～100这100个自然数中有哪些是质数？　　分析与解：先把前100个自然数写出来，得下表：　　1既不是质数也不是合数。　　2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去；　　3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去；　　类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去；　　把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。　　经过以上的筛选，划去的都是合数，余下26个数，除1外，剩下的25个都是质数。这样，我们便得到了100以内的质数表：　　2，3，5，7，11，13，17，1

3、9，23，29，31，37，41，　　43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。　　这些质数同学们应当熟记！　　细心的同学可能会注意到，以上只划到7的倍数，为什么不继续划去11，13，…的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如，100以内11的倍数应该是　　11×A≤100（其中A为整数），　　显然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因为4=22，6=2×3，8=23，9=32，所以A必是2，3，5，7之一的倍数。由此推知，11的倍数已全部包含在2，3，5，7的倍数中，已在前面划去

4、了。　　要判断一个数N是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小到大的自然数2，3，4，5，6，7，8，…，N-1去除N，其中只要有一个自然数能整除N，N就是合数，否则就是质数。但这样太麻烦，因为除数太多。能不能使试除的数少一点呢？由例1知，只要用从小到大的质数去除N就可以了。例2给出的判别方法，可以使试除的数进一步减少。　　例2判断269，437两个数是合数还是质数。　　分析与解：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K2，再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N，那么N是质

5、数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合数。　　因为269＜172=289。17以内质数有2，3，5，7，11，13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。　　因为437＜212=441。21以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判断437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19试除437，得到437÷19=23，所以437是合数。　　对比一下几种判别质数与合数

6、的方法，可以看出例2的方法的优越性。判别269，用2～268中所有的数试除，要除267个数；用2～268中的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。　　例3判断数11是质数还是合数？　　分析与解：按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。　　根据整数的意义，这个13位数可以写成：　　11　　=00+　　=×（+1）　　=×。　　由上式知，和都能整除11，所以11是合数。　　这道例题又给我们提供了一种

7、判别一个数是质数还是合数的方法。　　例4判定298+1和298+3是质数还是合数？　　分析与解：这道题要判别的数很大，不能直接用例1、例2的方法。我们在四年级学过an的个位数的变化规律，以及an除以某自然数的余数的变化规律。2n的个位数随着n的从小到大，按照2，4，8，6每4个一组循环出现，98÷4=24……2，所以298的个位数是4，（298+1）的个位数是5，能被5整除，说明（298+1）是合数。　　（298+3）是奇数，不能被2整除；298不能被3整除，所以（298+3）也不能被3整除；（298+1）能被5整除，（298+3

8、）比（298+1）大2，所以（298+3）不能被5整除。再判断（298+3）能否被7整除。首先看看2n÷7的余数的变化规律：　　因为98÷3的余数是2，从上表可知298除以7的余数是4，（298+3）除以7的余数是4+3=7，7能被7整除，即（29