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1、第二章:量子力学的路径积分表示1.传播子的定义当不显含时间时其中为能量本征矢在表象中即可以表示为积分形式为这里波函数积分核:称为波动力学中的传播子传播子与系统的哈密顿量有关,但与初始波函数无关,知道的本征函数及本征值,可求出传播子给定系统在时刻的初始状态 及传播子 ，则可推出 时刻波函数,反映了量子力学中的因果关系的另一表示形式：传播子的性质:(1)满足Schrodinger方程(2)由以上二个性质，传播子作为 的函数，可以看成是一个粒子在初始 时刻局域在 位置，而在时刻的空间波函数另要求，当时因此传播子满足方程即 为S方程
2、的Green函数举例：自由粒子与 对易量为动量本征方程而积分得三维空间一维简谐振子传播子为:传播子的一些有用性质:取,并且,对空间积分上式与统计力学中配分函数类似事实上,取为纯虚数,定义为正实数,则即为系统在温度时的配分函数,因此研究量子力学中传播子而发展出来的技术方案对研究热力学系统的配分函数也很有用.考虑的Laplace-Fourier变换这个积分随 增大而振荡，积分值不定，但可以引入一个收敛因子则系统的能量本征值谱为函数 在复平面上的极点，所以研究系统的能谱可以通过研究的解析性质得到．传播子的路径积分形式1.正则形式一维问题,设为Heisenber
3、g图象中的坐标算符为动量算符．又设 为 的本征态，本征值为中的 只表示它是 时刻算符的本征态,并不表示态矢量随时间变化,在Heisenberg图象中态矢量不随时间变化．设 不显含时间，由Heisenberg方程令 为 时的本征态，即有可以推出，两个不同Heisenberg态矢量 与之间存在幺正变换关系所以变换矩阵元 可写为上式即为传播子，表示粒子 时刻坐标测量值为 ， 而 时刻坐标变为 的几率振幅下面将传播子表示成路径积分形式将时间区间 分成 个相等的小区间则有其中已插入 个因子而假设则同理其中得到因此而传播子引入
4、连续函数使所以确定经典相空间中的一条轨道令在极限下满足边界条件:对于三维空间这就是几率振幅的正则形式.上式积分是无穷维的,变量是和,所以是泛函积分.它是对所有在时刻坐标为,在时刻坐标为的相空间中的轨道的贡献求和,所以称为路径积分.2.拉氏形式假设哈密顿量则几率振幅可表示为对积分后,得到取连续极限其中对三维空间或写成其中是联结,两点的轨道的经典作用量.这就是路径积分的拉氏形式.它告诉我们量子力学中的几率振幅是坐标空间中所有联结,两点的轨道的贡献之和,每个轨道的贡献振幅相同而位相为,因此,这个公式具有相当直观的意义.对经典轨道有几个具体的几率振幅形式1.自由粒子由定
5、积分公式:令则所以这就是一维空间自由粒子传播子2.双孔干涉H1H2ABabcd设电子在 时在A处，经小孔H1，H2求在 时，出现在B处的几率振幅其中由积分公式得到设 近似相等令 则所以但所以其中 为粒子deBroglie波长上式给出双孔干涉图象3.Aharonov-Bohm效应在双狭缝背后置一螺线管磁场.从经典力学观点,这一磁场对粒子运动没有影响.但从量子力学观点,则是有影响的.(Y.AharonovandD.Bohm,PR115,485(1959))电子在磁势中拉氏量作用量而几率振幅其中表示 经典轨道由于在
6、经典轨道和附近,按Stokes定理， 在 和 附近轨道的贡献与经典轨道是相同的因此磁通量使干涉条纹产生位移.当时,即时,则与无磁场情况一样,对干涉条纹没有影响.ThefirstexperimentonABeffect:R.G.Chambers,PRL5,3(1960)4.谐振子首先介绍高斯积分除自由粒子外,最简单的路径积分是中的积分变量不超过二次项,称为高斯积分则几率振幅设为经典轨道.即满足的轨道则满足运动方程设任意轨道与经典轨道的偏离值为则式中对的一次项积分为0所以式中 即为经典作用量对的积分满足边界条件所以路径积分的结果只与有关谐
7、振子拉氏量经典运动方程为方程的解为代入边界条件得到而谐振子的几率振幅其中边界条件:由于时,都有,可将 按Fourier展开对某一时刻， 为 的某线性组合，不同时刻对于 的不同线性组合，所以可用 来代替 ，由于二者之间为线性变换，变换之Jacobi行列式为一常数．将积分变量 换成 时，需乘上因此其中对所有积分得到前二个因子与无关,设为常数,而第三个因子即为其中为待定常数当时,谐振子几率振幅趋于自由粒子振幅,而所以对于谐振子最后得到谐振子的几率振幅为
