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1、第四章有限元法求解平面问题第一节基本物理量和方程的矩阵表示第二节结构离散化第三节单元位移模式形函数第四节单元分析单元刚度矩阵第五节载荷移置第六节整体分析总体刚度矩阵第七节边界条件处理求解第一节有限元法概述有限元法基本思路:离散化构造单元内位移函数；单元位移模式单元分析；划分网格，将连续体划分为有限数量的单元。单元内位移节点位移单元刚度矩阵单元节点力节点位移变分法整体分析；总体刚度矩阵节点位移外载荷静力平衡求解；节点位移单元位移模式几何方程物理方程第一节基本物理量和方程的 矩阵表示第一节基本物理量和方程的矩阵表示1基本物理量外力：
2、应力：应变：位移：节点力:节点位移:虚应变：节点虚位移：平面应变问题弹性矩阵：第一节基本物理量和方程的矩阵表示2基本方程几何方程：物理方程：符号矩阵：平面应力问题弹性矩阵：第一节基本物理量和方程的矩阵表示虚功方程：有限元法中，作用于弹性体的各种外力常以作用于某些点的等效集中力来代替。等效第二节结构离散化第二节结构离散化深梁（离散化结构）将连续体变换为离散化结构：将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些节点处连接，构成所谓“离散化结构”。单元节点1单元要素节点：单元与单元之间的连接点（i,j,m）。节点位移：节
3、点产生的位移。ijm节点力：通过节点传递的内力。节点载荷：作用在节点上的载荷（外力）。单元位移：单元内位移分布（u(x,y),v(x,y)）第二节结构离散化2单元类型一维单元：如杆单元，梁单元二维单元：如三角形单元，四边形单元。三维单元：如四面体单元，六面体单元，棱柱单元。3连续体离散化模型单元间仅通过节点连接，没有其它联系；位移，载荷仅通过节点传递；单元内依然是连续体，位移是坐标的连接函数。第三节单元位移模式解的收敛性第三节单元位移模式解的收敛性1单元位移函数将连续体离散化后，各单元间通过节点相连，但每个单元仍然是连续的，即单
4、元内位移是坐标的连续函数：位移试函数物理意义表示了单元内位移u,v的分布形式，称单元位移模式。数学意义构造各单元节点位移间的位移插值函数。2形函数设位移函数：第三节单元位移模式解的收敛性假设已知边界：求解三元一次方程组2）为的代数余子式。其中：1）A为三角形ijm的面积，(i,j,m按逆时针编号)第三节单元位移模式解的收敛性这里：规律：i,j,m安逆时针替换。一般写成：第三节单元位移模式解的收敛性用矩阵形式表示：这里：形函数形函数矩阵则：第三节单元位移模式解的收敛性位移函数表示了位移u,v在单元内的分布形式，因此又称位移模式。沟
5、通了单元中离散点的位移和单元内位移之间的关系。3形函数的性质i点：j点：m点：第三节单元位移模式解的收敛性性质1:在节点r处在其它节点处物理意义：不同单元在同一节点处位移相等地，即节点处位移与形函数无关，反映了单元在节点处的连续性。总结性质2:总结第三节单元位移模式解的收敛性令：各节点位移相等时，单元内位移为常数，且等于节点位移。物理意义：各节点形函数之和为1，反映了单元的刚体位移。是x,y的线性函数。jmijim由性质1：1m11第三节单元位移模式解的收敛性4位移函数的收敛性(1)位移函数收敛性的概念位移模式建立以后，便可逐步
6、求应变、应力、结点力等一系列工作。所以位移模式是有限元法的工作基础。…逐步将单元细分，可以得到同一问题近似解的一个序列：精确解？第三节单元位移模式解的收敛性当时，有限元解答收敛于精确解有限元解的收敛性位移函数的收敛性位移函数收敛于正确解(2)位移函数收敛于正确解的条件必须反映单元的刚体位移。单元位移自身变形引起位移刚体位移=+由其它单元变形引起必须反映单元的常量应变。单元应变常量应变变量应变=+与位置无关与位置坐标有关a,b两个条件为位移函数收敛的必要条件。第三节单元位移模式解的收敛性位移模式应尽可能反映位移的连续性。单元内连续
7、（位移函数取坐标的连续函数）；单元公共节点上位移相等；单元公共边界上位移相等。保证离散化后的结构仍为连续弹性体。c条件为位移收敛性的充分条件。满足a,b条件的单元完备单元还满足c条件的单元协条单元复习：复习性质1:在节点r处在其它节点处性质2:jmijim位移函数收敛于正确解的条件:必须反映单元的刚体位移。必须反映单元的常量应变。位移模式应尽可能反映位移的连续性。例题：例：判断三角形单元位移函数是否满足位移函数的收敛性？解：（1）令：因此，u,v包含了单元的刚体位移。（2）因此，应变分量包含了常应变。例题：（3）单元内，u,v显
8、然是连续函数。对单元①：对单元②：所以，不同单元在公共节点处位移相等发，保证了节点处的连续性。u,v在任一单元内都是坐标的线性函数，在公共边界ij上当然也是线性的。经过两点的直线只有一条，所以公共边界ij上任一点位移相等，保证位移函数在公共边界上是连续的。例题：
