基本不等式变形技巧的应用.doc

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1、基本不等式变形技巧的应用基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。技巧一：加减常数例1、求函数的值域。解：（1）当x>1时，有，，当且仅当，即x＝2时，等号成立，此时y的最小值为3.（2）当x<1时，，所以，，当且仅当，即x＝0时，等号成立，此时y的最大值为－1，综上所述，该函数的值域为点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。技巧二：巧变常数例2、已知，求函数y＝x（1－2x）的最大值。解法一：因为，所以1－2x>0，所以解法二：

2、因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，y的最大值为点评：形如或等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。技巧三、分离常数例3、已知，则有（）A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值分析：本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件。解：，当且仅当，即x＝3时，函数有最小值，故选D.点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。技巧四、活用常数例4、若且满足，求x＋y的最小值。解：由且得，当且仅当，即x＝12且y＝24时，等号成立，所以x＋y

3、的最小值是36.点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。技巧五、统一形式例5、已知，求的最小值。解：，所以当a＋b＝c时，的最小值为4.点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数可变形为等）。