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《一元函数积分学第2-5节定积分ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节定积分的概念与性质三、定积分的几何意义一、两个实例二、定积分的定义返回四、定积分的性质与N-L公式xyo曲边梯形1曲边梯形的面积一、两个实例与两条直线ax=、和ab由连续曲线直接求A是困难的要设法近似取代，且要尽量精确所围成矩形面积梯形面积方法:用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，abxyo（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）矩形总面积越接近曲边梯形面积．由此得出求曲边梯形面积A的一般思路：曲边梯形如图,1210bnxnxxxxa=<-<<<<=L],[ba内插入若干个分点，在区间;1--=Diiixxx长度为],[1-iixx，小区间],[n个ba分成把
2、区间，上任取一点ix在每个小区间iixx],[1-(1)分割(2)近似替代相应曲边梯形面积的近似值为x2曲边梯形面积A的近似值为则当λ→0时,就有为此必须让所有区间的长度都无限缩小即:曲边梯形面积为(3)求和将所有小曲边梯形的面积相加可得(4)取极限要得到A的精确值必须利用极限工具,设λ为所有小区间长度的最大值},,xmax{n21D=LxDxD,λ2变速直线运动的路程设某物体作直线运动，是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，求物体在这段时间内所经过的路程S.（3）将各小段的路程相加，便得到路程的近似值，)(tvv=已知速度0)(≥tv，且思路：因为速度是变化的，故无法
3、直接求出路程S，于是（1）把整段时间分割成若干小段，（2）每小段上速度看作不变，求出该小段上路程的近似值（4）通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割某小段路程值某时刻的速度（3）求和（4）取极限路程的精确值返回即：(2)近似替代返回从以上两例可以看出：（2）近似替代（1）分割（3）求和（4）取极限两个背景完全不同的例子，却有着完全类似的解决方案当我们忽略两例的背景，而把上述解题的思路抽象出来，就可以得到以下重要的定积分的概念定义二、定积分的定义记为被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和附注：定理1存在定理定理2若不特别申明，我们以后只讨论连续函数的定积
4、分例1利用定义计算定积分解则：故：1这显然与实际吻合但类似的计算非常困难，参见教材P123例1因此，要寻找求定积分的更好的方法——牛—莱公式表示曲边梯形的面积表示曲边梯形面积的代数和三、定积分的几何意义表示曲边梯形面积的负值f(x)任意即：在x轴下方的面积取负号．轴上方的面积取正号；在之间的各部分面积的代数和．直线的图形及两条轴、函数它是介于xbxaxxfx==,)(例2利用几何意义计算定积分解1表示由x=0,x=1,y=0,y=x所围成的直角三角形的面积表示由x=-π,x=π,y=0,y=sinx所围成的两块图形两块图形面积相等,又分别在上下半平面.=06420246π-π
5、1-1的面积,例2利用几何意义计算定积分解是半径为a的圆表示半径为a的圆面积的四分之一(第一象限部分)aa用上述方法求定积分只适用于特殊情形,一般情形,需另谋出路——牛—莱公式对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．四、定积分的性质 和牛顿—莱布尼茨公式证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质2函数的和与差可与定积分交换顺序性质1证性质3常数可与定积分交换顺序常数是“自由人”òò=babadxxfkdxxkf)()((k为常数).补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若定积分对于积分区间具有可加性则性质4性质1、2、3常用
6、于定积分的计算证性质5解令于是性质5常用于定积分的大小比较3性质5的推论：证（1）证说明：可积性是显然的.性质5的推论：（2）证性质6常用于估计积分值的大致范围性质6解4证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式性质7常用于有关定积分的证明题中使即积分中值公式的几何解释：设函数)(xf在区间],[ba上连续，考察定积分记为：称为积分上限函数如果上限x在区间],[ba上任意变动，],[ba上定义了一个函数，先引入积分上限函数的概念x为],[ba上的一点，并且设所以它在一个取定的x值，定积分都有一个对应值，则对于每或：变上限函数中值定理的应用:原函数存在
7、定理——积分上限函数的性质积分上限函数的性质证：显然只能利用导数的定义来证ΔΦ（P129）由积分中值定理得证毕ΔΦ定理（原函数存在定理）则积分上限的函数就是)(xf在],[ba上的一个原函数.定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.如果)(xf在],[ba上连续，一方面，由定积分的定义知，路程S为另一方面这段路程可表示为一个实例：变速直线运动中位置函数与速度函数的联系设某物体作直线运动，是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，求物体在
