线性代数I期末试卷(二).doc

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1、2007—2008学年第一学期《线性代数Ⅰ》课程考试试卷B参考解答注意：1、本试卷共3页；2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方阅卷负责人签名：题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、若向量组线性无关，向量组线性相关，则【C】(A)必可由线性表示；(B)必可由线性表示；(C)必可由线性表示；(D)必不可由线性表示。2、向量组的秩为【A】（A）1；（B）2；（C）0；（D）。3、设A是矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是【D】(A)A的行向量组线

2、性无关；(B)A的行向量组线性相关；(C)A的列向量组线性无关；(D)A的列向量组线性相关。4、设为阶方阵的伴随阵，则【】(A)；（B）；（C）；（D）。5、设为阶方阵，，则的值为【D】(A)；　(B)；　(C)；　(D)。6、设、均为同阶方阵，则必有【　D　】（A）（B）；（C）；（D）。7、已知维向量组()，则【A】(A)必线性相关；(B)必线性无关；(C)可能线性相关也可能线性无关；(D)以上均不对。8、设为矩阵，且非齐次线性方程组有唯一解，则必有【B】（A）；（B）秩（C）秩（D）秩9、如果-E可逆，则【B

3、】（A）的特征值不为0；（B）的特征值不为1；（C）无实特征值；（D）的特征值均为实数。10、设方阵与方阵相似，则不真的陈述为【C】（A）与有相同的特征多项式；（B）与有相同的特征值；（C）与有相同的特征向量；（D）与有相同的秩。阅卷人得分二、计算行列式（每小题8分，共16分）1、=…………………………（4分）。………………………………（4分）2、。………………（8分）阅卷人得分三、矩阵运算（8分）设A=，B=,C=，计算。解…………………（2分）…………………………（3分）……………（3分）阅卷人得分四、解矩阵方

4、程（8分）。设，满足，求X。解由，有；……………………………（2分）而…（3分）于是得…………………………（3分）阅卷人得分五、给定向量组；1、若，求；2、求向量组的秩；3、求向量组的一个最大无关组；4、将其余向量用此最大无关组线性表示。（16分）解：1、；……………（4分）～～…～…（3分）2、可知，=3。…………………………………………………………（3分）3、由以上行最简形矩阵，可选取为向量组的一个最大无关组（不唯一）。……………………………（3分）4、向量由该最大无关组线性表示的表达式为……………………………

5、…………………………（3分）阅卷人得分六、求线性方程组的通解。（16分）解…………………（4分）原方程组有无穷多解，其同解方程组为取为自由未知量，令，得原方程组的一个特解，………………………………………4分在对应的齐次方程组的同解方程组中，分别取得原方程组对应的齐次方程组的基础解系（不唯一），…………………………………6分于是，所求通解为，即，（为任意常数）…………………2分阅卷人得分七、设二次型为⑴写出二次型的矩阵A；⑵求A的特征值；⑶求A的特征向量；⑷用正交变换将二次型化为标准形，并求出所用的正交变换。（16分

6、）解：1、二次型的矩阵为A=；……………………………………………4分2、得矩阵A的特征值………………………………4分3、对应于解齐次方程组，由得矩阵A的对应于的特征向量（即齐次方程组的基础解系，不唯一）为，……………………………………………2分对应于解齐次方程组，由得矩阵A的对应于的特征向量为…………………………………2分⑷因为3阶实对称矩阵A的3个特征向量已经是相互正交，故只须把它们单位角化，得，，；……………1分于是得正交矩阵，故有…1分作正交变换，二次型可化为标准形。………………………………………2分