高等数学第一章公式.doc

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1、高等数学公式与定理（第六版上册）第一章函数与极限第一节：初等函数幂函数：(指数函数：（>0且对数函数：y=(a>0且a1，特别当a=e时，记为y=lnx)三角函数:如y=等反三角函数：如y=arctan等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。定理3(收敛数列的保号性)如果且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N时，都有>0(<0)定理4(收敛数列与其子数列的

2、关系)如果数列{}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节函数的极限函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)如果存在，那么这极限唯一.定理2（函数极限的局部有界性）如果=A存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{}<δ时，有.定理3（函数极限的局部保号性）如果=A，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得时，有（或）定理3′如果,那么就存在着的某一去心邻域当时，就有.推论如果在的某去心邻域内，而且，那么定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限存在，{}为函数的定义域内任

3、一收敛于的数列，且满足：,那么相应的函数数列必收敛，且第四节无穷小与无穷大定理1在自变量的同义一变化过程中，函数具有极限A的充分必要条件是其中是无穷小。定理2在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；如果为无穷小，且≠0，则为无穷大。第五节极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小。定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小。定理3如果那么（1）(2)若又有B,则.推论1如果存在，而为常数，则推论2如果存在，而是正整数，则定

4、理4设有数列，如果定理5如定理6（复合函数的极限运算法则）设函数是由函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若且存在时，有第六节极限存在准则两个重要极限准则1如果数列满足下列条件：（1）从某项起，即当时，有（2）那么数列{}的极限存在，且准则如果（1）当（2）那么存在，且等于A.准则Ⅰ和准则称为夹逼准则。准则单调有界函数必有极限。第七节无穷小的比较定理1是等价无穷小的充分必要条件是定理2设且第九节连续函数的运算与初等函数的连续性定理1设函数在点连续，则他们的和（差）.积都在点连续。定理2如果函数在区

5、间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数也在对应区间上单调增加（或单调减少）且连续。定理3设函数有函数与函数复合而成，若而函数在连续，则定理4设函数是由函数与函数复合而成，若函数在连续，且，而函数在连续，则复合函数在也连续。第十节闭区间上连续函数的性质定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。定理2（零点定理）设函数在闭区间上连续，且与异号（即），那么在开区间内至少有一点，使定理3（介值定理）设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不

6、同的函数值及，那么，对于A与B之间的任一个数C，在开区间内至少有一点，使得推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。定理4（一致连续性定理）如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上一致连续。第二章导数与微分第一节导数的概念