高中数学讲义微专题06《函数的图像》讲义.pdf

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1、微专题06函数的图像一、基础知识1、做草图需要注意的信息点：做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点（1）一次函数：ykxb,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与

2、坐标轴的交点来确定直线特点：两点确定一条直线信息点：与坐标轴的交点2（2）二次函数：yaxhk，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点1（3）反比例函数：y,其定义域为,00,，是奇函数，只需做出正版轴图像x即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线信息点：渐近线注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称

3、这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x轴是渐近线，那么当x，曲线无限向x轴接近，但不相交，则函数在x正半轴就不会有x轴下方的部分。（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x（或）时，fx常数C，则称直线yC为函数fx的水平渐近线x例如：y2当x时，y，故在x轴正方向不存在渐近线当x时，y0，故在x轴负方向存在渐近线y0（3）竖直渐近线的判定：首先fx在xa处无定义，且当xa时，fx（或），那么称xa为fx的竖直渐近线例如：y

4、logx在x0处无定义，当x0时，fx，所以x0为ylogx的22一条渐近线。综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线。1例：作出函数fxx的图像x分析：定义域为,00,，且fx为奇函数，故先考虑x正半轴情况。'1fx10故函数单调递增，2x''2fx0，故函数为上凸函数，当x时，3xfx无水平渐近线，x0时，fx，所以y轴为fx的竖直渐近线。零点：1,0，由这些信息可做出正半轴的草图，在根据对称

5、性得到fx完整图像：2、函数图象变换：设函数yfx，其它参数均为正数（1）平移变换：fxa：fx的图像向左平移a个单位fxa：fx的图像向右平移a个单位fxb：fx的图像向上平移a个单位fxb：fx的图像向下平移a个单位（2）对称变换：fx：与fx的图像关于y轴对称fx：与fx的图像关于x轴对称fx：与fx的图像关于原点对称（3）伸缩变换：1k1：收缩fkx：fx图像纵坐标不变，横坐标变为原来的k0k1：拉伸k1：拉伸kfx：fx图像横坐标不变，纵坐标

6、变为原来的k倍0k1：收缩（4）翻折变换：fx,x0fx：fx即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半fx,x0轴图像关于y轴对称的图像fx,fx0fx：fx即x轴上方的图像不变，下方的图像沿x轴对称的翻上fx,fx0去。3、二阶导函数与函数的凹凸性：（1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况，若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数若一个函数的增减图像为则称函数为上凸函数（2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快下凸函数特点：增区间增长速

7、度越来越快，减区间下降速度越来越慢'''（3）与导数的关系：设fx的导函数为fx（即fx的二阶导函数），如图所示：增长'速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随x的增大而增大，即fx为增函'''''数fx0；上凸函数随x的增大而减小，即fx为减函数fx0；综上所述：函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定，进而能用二阶导函数的符号进行求解。二、方法与技巧：1、在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：（1）单调性：导函数的符号决定原函数

8、的单调性，