高中数学优秀讲义微专题40 利用函数性质与图像解不等式.doc

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1、微专题40利用函数性质与图像解不等式高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。一、基础知识：（一）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设在上连续且单调递增，，则时，;时，(单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、

2、导数运算法则：（1）（2）4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。（二）利用函数性质与图像解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与

3、轴距离大小与其函数值大小的等价关系。通常可作草图帮助观察。例如：的对称轴为，且在但增。则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合，不会影响结论），得到：距离越近，点的函数值越小。从而得到函数值与自变量的等价关系2、图像与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如，其中的图像均可作出。再由可知的图像在图像的下方。按图像找到符合条件的范围即可。二、典型例题：例1：定义在上的可导函数满足：，，则的解集为（）A.B.C.D.思路：本题并没有的解析

4、式，所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。由条件可得，进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所得，再结合所解不等式，发现，刚好与条件联系起来，故设，则在上单调递减。，所以的解集为答案：C小炼有话说：（1）在解题过程中目标要明确：既然不能用传统方法解不等式，则要靠函数单调性，进而目标为构造函数并求单调性，要确定单调性则要分析所构造函数的导函数的符号（2）此题构造的关键点有二：一是轮流求导的特点，进而联想到导数乘除法运算，二是所求不等式所给予的“暗示”。所以解此类题目一定要让条件与结论“对上话”（3）体会条件的作用：提供零点以便配合单调性求解例2：函数的定义域为，

5、，对任意的，有，则的解集是；思路：所解不等式化为，令，则由可得（这也是为何构造的原因），在上单调递增。考虑，答案：例3：设定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为_________思路：由可得原函数（注意由导函数反求原函数时要带个常数），再由可得，（看到函数解析式的反应：定义域？奇偶性？）显然是奇函数，且在单调递增。进而不等式可利用单调性解出的范围。，所以答案：小炼有话说：（1）本题尽管求出的的解析式，但由于靠解析式所解得不等式过于复杂，所以依然选择利用单调性（2）要掌握一些能直接判断单调性与奇偶性的方法，常见的判断方法如下：奇偶性：①奇+奇→奇②偶+偶→偶

6、③奇×奇→偶④奇×偶→奇⑤偶×偶→偶单调性：①增+增→增②减+减→减③增×（-1）→减④1/增→减（仅在函数值恒正或恒负时成立）（3）本题求解有一个重要细节：由于定义在上，所以要保证均在上（4）要培养一个习惯：拿到函数，首先看定义域，其次看函数的三个性质是否有能直接判断的（尤其奇偶性），再根据条件分析。例4：函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（）A．B．C．D．思路：，令，则在单调递增，因为是奇函数，所以可判断为偶函数。另一方面，的解集与的解集相同，进而只需求出的解集。，由增函数可得时，，由对称性可知时，答案：D例5：若函数是定义在上的偶函数

7、，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是.思路：根据函数为偶函数，而与互为相反数的特点可化简所求不等式：，由偶函数与单调性作草图可得：距离轴约近，函数值越小，所以可得，解出的范围即可解：所解不等式等价于：为偶函数为偶函数，且上单增答案：小炼有话说：遇到单调性与对称轴已知的函数，可以作草图并得到距离对称轴远近与函数值的大小的等价关系。例6：已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为____________思路：考虑条件能够提供什么，为偶函数的图像关于轴对称的图像关于轴对称；，由轮流求导的特点联想到导数的乘除运算法则（极有

8、可能是除法