高中数学优秀讲义微专题65 直线的方程与性质.doc

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1、微专题65直线的方程与性质一、基础知识：（一）直线的要素与方程：1、倾斜角：若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为（2）倾斜角的取值范围2、斜率：设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）越大，直线越陡峭（5）斜率的求法：已知直线

2、上任意两点，则，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。3、截距：若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关（1）一点一方向：①点斜式：已知直线的斜率，直线上一点，则直线的方程为：证明：设直线上任意

3、一点，根据斜率计算公式可得：，所以直线上的每一点都应满足：，即为直线方程②斜截式：已知直线的斜率，纵截距，则直线的方程为：证明：由纵截距为可得直线与轴交点为，从而利用点斜式得：化简可得：（2）两点确定一条直线：③两点式：已知直线上的两点，则直线的方程为：④截距式：若直线的横纵截距分别为，则直线的方程为：证明：从已知截距可得：直线上两点，所以⑤一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：（不同时为0），此形式称为直线的一般式一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果可用于判定直线的平行垂直关系

4、点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）（2）截距式：①截距不全的直线：水平线，竖直线②截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参

5、数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）（二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是，则要考虑重合的情况。2、直线平行的条件（1）斜截式方程：设直线①②若直线的斜率存在，则（2）一般式方程：设，则①当时，∥②，且和中至少一个成立，则∥（此条件适用于所有直线）3、直线垂直的条件：（1）斜截式方程：设直线，则（2）一般式方程：设，则：4、一般式方程平行与垂直判定的规律：可选择与一般式方程对应的向量：，即有：，从而的关系即可代表的关系，例如：

6、（注意验证是否会出现重合的情况）（三）距离问题：1、两点间距离公式：设，则2、点到直线距离公式：设则点到直线的距离3、平行线间的距离：则的距离为（四）对称问题1、中心对称：（1）几何特点：若关于点中心对称，则为线段的中点（2）解析特征：设，，则与点关于点中心对称的点满足：2、轴对称（1）几何特点：若若关于直线轴对称，则为线段的中垂线，即，且的中点在上（2）解析特征：设，，则与点关于轴对称的点满足：，解出即可（3）求轴对称的直线：设对称轴为直线，直线关于的对称直线为①若∥，则∥，且到对称轴的距离与到对称轴的距离相等②若与相交于，则取上一点

7、，求出关于的对称点，则即为对称直线（五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值（1）与直线平行的直线系方程为：（为参数，且）（2）与直线垂直的直线系方程为：（为参数）2、过定点的直线：（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可（2）已知（与不重合），则过交点的直线系方程为：（该直线无法表示）3、直线系方程的用途：主

8、要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程二、典型例题：例1：直线的倾斜角的取值范围是