欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:58800425
大小:244.89 KB
页数:9页
时间:2020-10-25
《1987年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一试题(10月11日上午8∶00——9∶30)一.选择题(每个小题选对得5分,不选得1分;选错或选出的代号超过一个者得0分.本题满分20分):1.对任意给定的自然数n,若n6+3a为正整数的立方,其中a为正整数,则()A.这样的a有无穷多个B.这样的a存在,但只有有限个C.这样的a不存在D.以上A、B、C的结论都不正确(上海供题)[来源:Zxxk.Com]2.边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是()A.10B.14C.5D.12(天津供题)3.在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点,若a为无
2、理数,则过(a,0)的所有直线中()A.有无穷多条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点B.恰有n(2≤n<+∞)条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点C.有且仅有一条直线至少通过两个有理点D.每条直线至多通过一个有理点(河南供题)[来源:Zxxk.Com]2.已知集合A={(x,y)
3、
4、x
5、+
6、y
7、=α,α>0}B={(x,y)
8、
9、xy
10、+1=
11、x
12、+
13、y
14、}若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则α的值为.(青海供题)3.若k是大于1的整数,α是x2-kx+1=0的一个根,对于大于10的任意自然数n,α+α的个位数字总是7,则k的个位数字是.(河北供题
15、)4.现有边长为3,4,5的三角形两个,边长为4,5,的三角形四个,边长为,4,5的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成个四面体.(江西供题)[来源:学*科*网Z*X*X*K]5.五对孪生兄妹参加k个组活动,若规定:⑴孪生兄妹不在同一组;⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动,⑶有一人只参加两个组的活动,则k的最小值为.(命题组供题)1987年全国高中数学联赛二试题一.如图,△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,现固定△ABC,而将△ADE绕A点在平面上旋转,试证:不论△ADE旋转到什么位置,线段EC上必存在点M,使△BMD为等腰直角三角
16、形.二.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点.试证:存在一个同心圆的集合,使得⑴每个整点都在此集合的某个圆周上;⑵此集合的每个圆周上,有且只有一个整点.(辛泽尔定理)三.n(n>3)名乒乓球选手单打若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同,试证明:总可以从中去掉一名选手,而使在余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同.1987年全国高中数学联赛解答一试题一.选择题(每个小题选对得5分,不选得1分;选错或选出的代号超过一个者得0分.本题满分20分):2.边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度
17、之和的最大值是()【解析】若直线斜率为k,则当k=0时直线经过x轴上所有有理点.当k≠0时,直线方程为y=k(x-a).若k为有理数,则当x为有理数时,y为无理数;若k为无理数,若此时直线经过一个有理点A(x1,y1),对于直线上与A不重合的点B(x2,y2).由y1=k(x1-a),y2=k(x2-a),由于a为无理数,故y1≠0,x2-a≠0,==m,当y2为有理数时,m为有理数,当y2≠y1时,m≠1,此时x2=mx1+(1-m)a为无理数.即此直线上至多有一个有理点.选C.4.如图,△ABC的顶点B在单位圆的圆心上,A、C在圆周上,∠ABC=2α(0<α<
18、)现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转,具体方法如下:第一次,以A为中心使B落到圆周上;第二次,以B为中心,使C落到圆周上;第三次,以C为中心,使A落到圆周上.如此旋转直到100次.那么A点所走过的路程的总长度为()A.22π(1+sinα)-66αB.πC.22π+πsinα-66αD.33π-66α(北京供题)【答案】A【解析】点A每k(k≡1(mod3))不动,第k(k≡2(mod3))次走过路程π-2α,第k(k≡0(mod3))走过路程(2sinα),于是所求路程=33(π-2α+πsinα).选A.二.填空题(每小题填写结果完全正确者得8分,填写错
19、误或多填、少填者均得0分,本题满分40分):1.已知集合M={x,xy,lg(xy)}及N={0,
20、x
21、,y},并且M=N,那么(x+)+(x2+)+(x3+)+…+(x2001+)的值等于.(陕西供题)2.已知集合A={(x,y)
22、
23、x
24、+
25、y
26、=α,α>0}B={(x,y)
27、
28、xy
29、+1=
30、x
31、+
32、y
33、}若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则α的值为.(青海供题)【答案】α=2或2+.【解析】集合A的图形是依次连(α,0),(0,α),(-α,0),(0,-α)四点的线段.[来源:学科网]集合B的图形是直线x=1,x=-1,y=1,y=-1.它们交得一
34、个正八边形
此文档下载收益归作者所有