1983年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

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1、第一试1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)⑴设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件B．甲是乙的必要而非充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件⑹设a，b，c，d，m，n都是正实数，P=+，Q=·，那么A．P≥QB．P≤QC．P

2、9个B．17个C．1个D．5个⑻任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么A．l>R+rB．l≤R+rC．

3、题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有

4、f(x1)－f(x2)

5、<

6、x1－x2

7、．求证：

8、f(x1)－f(x2)

9、<．[来源:Z+xx+k.Com]5．(本题满分18分)函数F(x)=

10、cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B

11、在0≤x≤π上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论．1983年全国高中数学联赛解答[来源:学+科+网]第一试1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)⑴设p、q是自然数，条件

12、甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件B．甲是乙的必要而非充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件⑵x=+的值是属于区间A．(－2，－1)B．(1，2)C．(－3，－2)D．(2，3)【答案】D【解析】x=log32+log35=log310∈(2，3)，选D．[来源:Zxxk.Com]⑷已知M={(x，y)

13、y≥x2}，N={(x，y)

14、x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是A．a≥1B．a=1C．a≥1D．0

15、是圆x2+(y－a)2≤1在抛物线y=x2内部(上方)．即a≥1，且方程y2－(2a－1)y+a2－1=0的△=(2a－1)2－4(a2－1)≤0，Þa≥1，选A．⑸已知函数f(x)=ax2－c，满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5．那么，f(3)应满足A．7≤f(3)≤26B．－4≤f(3)≤15C．－1≤f(3)≤20D．－≤f(3)≤⑹设a，b，c，d，m，n都是正实数，P=+，Q=·，那么A．P≥QB．P≤QC．P

16、18分，每小题6分)⑴在△ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC的值等于．【答案】【解析】cosA=±，sinB=，但若cosA=－，则A>135°，cosB=60°，矛盾．故cosA=．∴cosC=cos(π－A－B)=－cosAcosB+sinAsinB=－·+·=．⑵三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有个．【答案】36【解析】设另两边为x，y，且x≤y．则得x≤y≤11，x+y>11，在直角坐标系内作直线y=x，y=11，x=11，x+y=11，则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数．(含y=1

17、1，y=x上的整点，不含x+y=11上的整点)共有122÷4=36个．即填36．⑶一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数，那么积m∙n是．第二试1．(本题满分8分)求证：arcsinx+arccosx=，其中x∈[－1，1]【解析】证明：由于x∈[－1，1]，故arcsinx与arccosx有意义，sin(－arccosx)=cos(arccosx)=x，由于arccosx∈[0，π]，∴－arccosx∈[－，]．故根据反正弦定义，有arcsinx=－arccosx．故证．2．

18、(本题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有

19、f