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《数值计算方法No.2非线性方程求根ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数值计算方法第二章非线性方程的求根1第二章非线性方程求根2.1二分法2.2迭代法2.3牛顿迭代法与弦割法2.4迭代法的收敛阶与加速收敛方法2本章要点本章主要介绍非线性方程求根方法,尤其是迭代法主要方法二分法、简单迭代法、Newton迭代法、SOR方法和Aitken加速方法P.本章作业3有唯一根有多根所有根均为单根有重根然后在每个区间上判断是否有根2.1二分法4若成立统计根的个数则所有的有根区间均为单根区间则继续对分区间,并重新判断直到找到所有根的所在区间然后在每个有根区间进行求根5可得一系列的小区间和中点6小区间中点显然每个小区间都有单根搜索法—二分法7例8.解:由于可知方程的解在区间[0
2、,10]内将区间[0,10]等分成三等份[0,3.33][3.33,6.67][6.67,10][0,3.33]内至少有一个根8[5,6.67][3.33,5]将[3.33,6.67]再分成两个区间[5,6.67]内至少有一个根[3.33,5]内至少有一个根[0,3.33][5,6.67][3.33,5]因此找到了三个有单根的区间依此类推结果为对分92.2迭代法方程是在科学研究中不可缺少的工具方程求解是科学计算中一个重要的研究对象几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方程的求解公式但是,对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精确解法对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法因此,研究非线性方
3、程的数值解法成为必然10设非线性方程--------(1)本节主要研究单根区间上的求解方法11一、简单迭代法(基本迭代法)--------(2)将非线性方程(1)化为一个同解方程继续--------(3)称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法12则称迭代法(3)收敛,否则称为发散--------(4)如果将(2)式表示为与方程(2)同解收敛13例1.解:(1)将原方程化为等价方程发散14显然迭代法发散(2)如果将原方程化为等价方程15仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此类推,得已经收敛,故原方程的解为
4、同样的方程不同的迭代格式有不同的结果什么形式的迭代法能够收敛呢?迭代函数的构造有关16定理1.--------(5)--------(6)--------(7)(局部收敛性)17证:由条件(1)由根的存在定理,由18由微分中值定理19证毕.20定理1指出,由(6)式,只要因此,当迭代就可以终止,只要构造的迭代函数满足此时虽收敛但不一定是唯一根--------(8)21例2.用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位解:本题迭代函数有两种构造形式因此采用迭代函数22d1=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-002d4=-0.1265e-003d5=0.1390e
5、-004d6=-0.1500e-005d7=0.1000e-006由于
6、d7
7、=0.1000e-006<1e-6因此原方程的解为x7=0.090525x1=0.1000000x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0.0905250x7=0.090525123由定理1的(7)式出,迭代法收敛就越快定义1.--------(9)24不可能直接确定25定理2.26例3.为线性收敛证明:所以27例4.至少是平方收敛的由定义128注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别?证明:令则所以由定理2该迭代法至少是平方收敛的29如果将非线性
8、方程令化为等价方程如果令即则2.3Newton迭代法一、Newton迭代法30于是取--------(10)--------(11)--------(12)(12)式称为Newton迭代法参见例4，可知Newton迭代法至少平方收敛局部收敛性31例5.用Newton迭代法求方程的根:解:由Newton迭代法x0=0.5;x1=0.3333333333x2=0.3472222222x3=0.3472963532x4=0.3472963553迭代四次精度达10-8Newtonddf.m32Newton迭代法需要求每个迭代点处的导数复杂！--------(12)--------(13)这种格式称
9、为简化Newton迭代法精度稍低二、Newton迭代法的变形—弦割法33则Newton迭代法变为--------(14)这种格式称为弦割(截)法收敛阶约为1.618几何意义34例6.用简化Newton法和弦截法解例(5)中方程的根，解:由简化Newton法并和Newton迭代法比较由弦截法Newtonddf.m35x0=0.5x1=0.3333333333x2=0.3497942387x3=0.3468683325x4=
