数值分析：第七章 非线性方程求根课件.ppt

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1、第七章非线性方程求根SolutionsofNonlinearEquations§1二分法求f(x)=0的根原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。abx1x2abWhentostop?或不能保证x的精度x*2xx*§2BisectionMethod误差分析：第1步产生的有误差第k步产生的xk有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：①简单;②对f(x)要求不高(只要连续即可).①无法求复根及偶重根②收敛慢注：用二分法求根，最好先给出f(x)草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将[a,

2、b]分为若干小区间，对每一个满足f(ak)·f(bk)<0的区间调用二分法程序，可找出区间[a,b]内的多个根，且不必要求f(a)·f(b)<0。kakbkxkf(xk)符号01234561.01.251.31251.32031.51.3751.34381.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242−+−++−−§2迭代法/*Fixed-PointIteration*/f(x)=0x=g(x)等价变换f(x)的根g(x)的不动点思路从一个初值x0出发，计算x1=g(x0),x2=g(x1),

3、…,xk+1=g(xk),…若收敛，即存在x*使得，且g连续，则由可知x*=g(x*)，即x*是g的不动点，也就是f的根。Sobasicallywearedone!Ican’tbelieveit’ssosimple!What’stheproblem?Ohyeah?Whotellsyouthatthemethodisconvergent?§3Fixed-PointIterationxyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1

4、x0p0x1p1定义1设(x)为定义在区间I上的函数,且对任何xI,均有(x)I,则称(x)为I到自身上的映射.定义2设(x)为I到自身上的映射,且存在0

5、(x2)-(x1)

6、L

7、x2-x1

8、,则称(x)为I上的压缩映射,L称为Lipschitz常数.若(x)为I上的压缩映射,则(x)在I上连续.定理2若(x)为I到自身上的映射,且(x)C1(I),

9、(x)

10、L<1,则(x)为I上的压缩映射.证对任意x1,x2I,有

11、(x2)-(x1)

12、=

13、()

14、

15、

16、x2-x1

17、L

18、x2-x1

19、定义3若(x)为I到自身上的映射,且I满足,=(),则称为(x)的不动点.定理3若(x)为I上的压缩映射,则(x)在I上存在唯一的一个不动点,且对任何x0I,由迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,…产生的序列{xk}收敛于(x)的不动点.定理1证不妨设I=[a,b],作函数(x)=(x)-x,由于xI时,(x)I,则(a)=(a)-a0,(b)=(b)-b0,由(x)的连续性,必存在I,使()=()-=0,即=(),就是

20、(x)的不动点.若,I均为(x)的不动点,则有

21、-

22、=

23、()-()

24、L

25、-

26、<

27、-

28、所以只能=,即(x)在I上仅有一个不动点.对任意x0I,有x1=(x0)I,递推得{xk}I,设是(x)的不动点,则

29、xk+1-

30、=

31、(xk)-()

32、L

33、xk-

34、L2

35、xk-1-

36、…Lk+1

37、x0-

38、所以xk.§3Fixed-PointIteration(I)当x[a,b]时，g(x)[a,b]；(II)0L<1使得

39、g’(x)

40、L<1对x[a,b]成立。则任取x

41、0[a,b]，由xk+1=g(xk)得到的序列收敛于g(x)在[a,b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：推论考虑方程x=g(x),g(x)C[a,b],若(k=1,2,…)且存在极限§3Fixed-PointIteration证明：①g(x)在[a,b]上存在不动点？令有根②不动点唯一？反证：若不然，设还有，则在和之间。而③当k时，xk收敛到x*？§3Fixed-PointIteration④⑤⑥可用来控制收敛精度L越收敛越快小注：定理条件非必要条件，可将[a,b]缩小，定义局部收敛性：若在x*的

42、某领域B={x

43、

44、xx*

45、}有gC1[a,b]且

46、g’(x*)

47、<1，则由x0B开始的迭代收敛。即调整初值可得到收敛的结果。若=(),而在I=[-,+]上(x)满足

48、(x)-()

49、