第5章 线性方程组的直接解法课件.ppt

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1、第五章线性方程组的直接解法§1Gauss消去法1.1顺序Gauss消去法1.2列主元Gauss消去法§2直接三角分解方法2.1Gauss消去法的矩阵运算2.2Doolittle分解法2.3平方根法2.4追赶法8/29/20211第五章线性方程组的直接解法在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量的n个方程构成的线性方程组方程组还可以用矩阵形式表示为:Ax=b(5.1)8/29/20212第五章线性方程组的直接解法根据Gramer（克莱姆）法则，求解方程组（5.1）时，要计算大量的行列式，所需乘法次数大约为当n较大时,这个计算量是惊人的。

2、例如，当n=20时，约需乘法次数为N=9.7×1020若系数矩阵A非奇异，即det(A)≠0,则方程组有惟一解x=(x1,x2,…,xn)T.如果用每秒一亿次的计算机来计算，需要三十万年时间。可见Gramer法则不是一种实用的方法。因此，必须构造出适合于计算机使用的线性方程组求解方法。N=(n+1)n!(n-1)=(n2-1)n!8/29/20213第五章线性方程组的直接解法直接方法的特点是:如果不考虑计算过程中的舍入误差，运用此类方法经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解。求解线性方程组的数值方法可分为两大类：直接方法和迭代方

3、法。本章讨论直接方法，迭代方法将在下一章中讨论。需要指出，由于实际计算中舍入误差的存在，用直接方法一般也只能求得方程组的近似值。本章我们将给出直接解法的若干算法。8/29/20214第五章线性方程组的直接解法假设系数行列式不为零，则解存在惟一，可用克莱姆法则求解两类解法直接法：不计舍入误差，通过有限次算术运算求得精确解迭代法：设计迭代公式，反复进行，无限次求得精确解克莱姆法则—计算量太大，不实用；高斯消元法直接法迭代法8/29/20215第五章线性方程组的直接解法§1Gauss消去法Gauss（高斯）消去法是一种规则化的加减消元法基本

4、思想通过逐次消元计算把需求解的线性方程组转化成上三角形方程组，也就是把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价（同解）的上三角形方程组的求解。Gauss消去法由消元和回代两个过程组成，先讨论一个具体的线性方程组的求解。中国古籍《九章算术》，成书于约公元前250年8/29/20216第五章线性方程组的直接解法一、顺序Gauss消去法例1.用Gauss消去法解方程组用增广矩阵进行计算上三角形方程组消元过程回代过程8/29/20217第五章线性方程组的直接解法这样，对于方程组(5.1)我们用增广矩阵表示，并

5、给出Gauss消去法的具体算法。或者Ax=b8/29/20218第五章线性方程组的直接解法顺序Gauss消去法的消元过程可表述如下：第一步，设a11(1)≠0，将第一列中a11(1)以下的各元素消成零乘以矩阵[A（1），b（1）]的第一行再加到第i行，得到矩阵(i＝2，3，…，n)即依次用行乘数(消元因子)8/29/20219第五章线性方程组的直接解法其中第二步，设a22(2)≠0，将第二列a22(2)以下各元素消成零，（i＝3，4，…，n）即依次用乘以矩阵[A（2），b（2）]的第二行再加到第i行，得到矩阵8/29/202110第五

6、章线性方程组的直接解法其中如此继续消元下去直到第n－1步结束后，得到矩阵8/29/202111第五章线性方程组的直接解法增广矩阵[A（n），b（n）]对应如下上三角形方程组这是与原线性方程组（5.1）等价的方程组.8/29/202112第五章线性方程组的直接解法对于等价方程组进行回代求解，可以得到：8/29/202113第五章线性方程组的直接解法首先写出增广矩阵于是，采用Gauss消去法求解方程组(5.1)8/29/202114第五章线性方程组的直接解法然后进行消元，采用公式最后进行回代得到方程组的解得到相似增广矩阵（i＝k+1，k+

7、2，…，n）8/29/202115第五章线性方程组的直接解法在编程计算时，最后的增广矩阵存放的元素是：下面给出Gauss消去法的计算流程：8/29/202116第五章线性方程组的直接解法消元过程：j＝k＋1，…，n回代过程：对于i＝n－1，n－2，…，1，计算k＝1，2，…，n－1，i＝k＋1，k＋2，…，n对于执行计算置8/29/202117第五章线性方程组的直接解法消元条件：回代条件：消元法是将某行的若干倍加到另一行故A的各阶顺序主子式Di(i=1~n)不变…，消元条件:回代条件:8/29/202118第五章线性方程组的直接解法用

8、Gauss消去法解方程组，应注意：1.适用条件：原方程组系数矩阵的各阶顺序主子式不等于零。2.运算量小：共有乘除法次数为而Gramer法则的乘除法次数为:(n2-1)n！当n=20时8/29/202119第五章线性方程组