Cht5-线性方程组直接解法ppt课件.ppt

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1、§1引言与预备知识第5章解线性代数方程组的直接法一、引言线性方程组的来源线性方程组的分类线性方程组的两类解法：1、直接法2、迭代法二、向量和矩阵(略)三、特殊矩阵对角矩阵三对角矩阵上三角矩阵上海森伯(Hessenberg)阵对称矩阵埃尔米特矩阵对称正定矩阵正交矩阵酉矩阵初等置换阵置换阵定理1设A∈Rnⅹn,A非奇异⇔…?定理2若A∈Rnⅹn对称正定矩阵，则⇒…?定理3若A∈Rnⅹn对称矩阵，则对称正定矩阵<=…?定理4(若当标准型)…其中对角化的条件：1）…；2）….引例§2高斯消去法一、高斯消去法设有线性方程组：

2、AX=b消元Step1：设，计算因子将增广矩阵第i行mi1第1行，得到其中Stepk：设，计算因子将增广矩阵第i行mik第k行，得到共须进行？步共须进行n1步回代Gauss消元法算法:1.输入n;系数矩阵A=(aij)b=(bi);(i,j=1,2,…,n）2.fork=1ton-1//消元过程{若akk=0,输出失败信息,停止否则fori=k+1ton{t=aik/akkforj=k+1tonaij=aij-t*akjbi=bi-t*bk}}3.fori=nto1若aii=0,输出失败信息,停止4.输出

3、x1,x2,...,xn说明:若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。Th5(1)可以通过高斯消去法求解.(2)系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。列主元高斯消去法的必要性,简例:高斯消元法的运算量由于计算机中乘除运算的时间远远超过加减运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。乘的次数(nk)次乘的次数(nk)2次除的次数(nk)次fork=1ton-1//消元过程{若akk=0,输出失败信

4、息,停止否则fori=k+1ton{t=aik/akkforj=k+1tonaij=aij-t*akjbi=bi-t*bk}1次(ni+1)次回代乘除次数：消元乘除次数：xn=bn/ann//回代过程fori=n-1to1乘除法运算工作量消元过程乘除法次数：回代过程乘除法次数：总的乘除法运算次数：非零判断次数最多为：行交换的元素个数为：说明:若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。Th5(1)可以通过高斯消去法求解.(2)系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。列

5、主元高斯消去法的必要性,简例:作业P229,2.二、矩阵的三角分解考虑通过比较法直接导出L和U的计算公式。思路一般计算公式§3高斯主元素消去法例：单精度解方程组例：单精度解方程组/*精确解为和*/8个8个用高斯消元法计算：8个小主元可能导致计算失败。每一步在列中选绝对值最大的元素为主元素。Stepk:①选取②Ifmkthen交换第k行与第m行;③消元列主元消元法例：列主元消元法的具体过程(1)交换第1行和第i1行，相当于P1B列主元消元法的具体过程(2)一般地，当进行了k-1次消去后，得到列主元消元法的具体过程

6、(3)选择a(k-1)mk作为第k次消去的主元若m=k,则交换第m行和第k行，并进行Gauss消去得经过n-1次消去和相应的换行操作，最终得到系数增广矩阵的上三角形式：并非下三角矩阵注：列主元Gauss消元法算法:1.输入n;系数矩阵A=(aij)b=(bi);(i,j=1,2,…,n）2.fork=1ton-1//消元过程{①max=

7、akk

8、,m=k;//找主元fori=k+1tonif

9、aik

10、>maxthen{m=i;max=

11、aik

12、}②if(max==0)break;③如果m≠k,那么//m行与k行交

13、换forj=kton{t=akj;akj=amj;amj=t;}t=bk;bk=bm;bm=t;③fori=k+1ton{t=aik/akkforj=k+1tonaij=aij-t*akjbi=bi-t*bk}3.回代fori=nto14.输出x1,x2,...,xn//消元列主元消元法的实例(1)考虑方程列主元消去法的解其增广矩阵为：除列主元消去法外，还有一种消去法，是在A的所有元素中选主元，称为全主元消去法，因计算量较大且应用列主元已能满足实际要求，故不再讨论.以矩阵说明列主元消元法设设设说明:L,U,Ip的存

14、贮.二、高斯—若当消去法(无需回代过程的消去法)算法(高斯—若当消元法).例4采用高斯—若当消去法求矩阵的逆A-1.作业P230,3,7.§4矩阵的三角分解法设有线性方程组：AX=b三、解三对角方程组的追赶法在数值求解常微分方程边值问题、热传导方程和建立三次样条函数时，都会要解三对角方程组：AX=b并且满足条件(i)保证方程组不能降阶，条件(ii)保证三角分