第7章 傅里叶变换ppt课件.ppt

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1、第七章傅里叶变换傅里叶级数傅里叶积分与傅里叶变换单位脉冲函数傅氏变换的性质1傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中2傅立叶的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”3§1Fourier积分公式1.1Recall:在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间变化的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+

2、T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).t4最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.——Fourier级数方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近5研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.是以T为周期的函数，在上满足Dirichlet条件：连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点；可

3、展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：6引进复数形式：7级数化为：8合并为：级数化为：若以描述某种信号，则可以刻画的特征频率。9例1求以T为周期的函数的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式10对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有1

4、1例矩形脉冲函数为如图所示:1-1Otf(t)1121-13T=4f4(t)t现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则13则14sinc(x)xsinc函数介绍15前面计算出w可将以竖线标在频率图上161-17T=8f8(t)t现在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t)17则18则在T=8时,w再将以竖线标在频率图上19如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出w再将以竖线标在频率图上20一般地,对于周期T21当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间

5、隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状,因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是方波函数f(t)的各个频率成份上的分布,称作方波函数f(t)的傅里叶变换.221.2Fourier积分公式与Fourier积分存在定理23{Ow1w2w3wn-1wn{w242526付氏积分公式也可以转化为三角形式27又考虑到积分28§2Fourier变换2.1Fourier变换的定义29Fourier积分存

6、在定理的条件是Fourier变换存在的一种充分条件.30在频谱分析中,傅氏变换F()又称为f(t)的频谱函数,而它的模

7、F()

8、称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).由于是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数f(t)作傅氏变换,就是求这个时间函数f(t)的频谱.31例1求矩形脉冲函数的付氏变换及其积分表达式。3233tf(t)342.2单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在

9、力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.35在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.36如果我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一个称为狄拉克(Dirac)函数,简单记成d-函数

10、:有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.37de(t)1/eeO（在极限与积分可交换意义下）工程上将d-函数称为单位脉冲函数。38可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函