种群相互依存模型.doc

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1、种群的相互依存摘要:甲乙两种群的相互依存有三种形式:1)甲可以独自生存,乙不能独自生存;甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存;甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存;甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。本文分别对这三种相互依存的关系进行分析,从种群的增长规律出发,对Logistic模型进行修改,建立两种群相互依存的模型。并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律,且对微分方程组稳定点的分析,分别得出了两种群相互依存的条件。关键词:Logistic模型微分方程组稳定点鞍点平衡点自治方程第一种情况的分析:(1.)模型假设1.

2、以、表示甲、乙二种群在时刻的数量,表示甲种群的固有增长率,分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量2.甲独自生存时,数量变化服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。3.乙种群没有甲的存在会灭亡,死亡率为,甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长;乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。4.乙为甲提供食物是甲消耗的s1倍,甲为乙提供食物是乙消耗的s2倍(2.)模型建立:经过分析得到以下方程:………………(1)上式刻画了区域所考查的两种群的发展规律,即为依存模型.(3)模型求解:欲求此问题的相互依存的条件我

3、们先来介绍以下的知识内容:微分方程理论性简介:此问题为动态过程,且建此模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。为了分析这种稳定与不稳定我们常常不是通过求解微分方程,而是通过用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。a.一阶微分方程的平衡点及其稳定性:设一阶微分方程为(1),方程右端不显含自变量t,称为一阶非线性(自治)方程。的实根为微分方程(1)的平衡点.同时也是方程(1)的解(奇解)。判断平衡点是否稳定的方法:间接法:若从某邻域的任一初值出发,都有,称是方程(1)的稳定平衡点。直接法:(1)的近似线性方程(2),,则对于方程(1)和(2)都是

4、稳定的;,则对于方程(1)和(2)都是不稳定的;b.二阶微分方程的平衡点及其稳定性:二阶方程可用两个一阶方程表示为:(3)右端不显含自变量t是自治方程。代数方程组:(4)的实根为微分方程(3)的平衡点.记作判断平衡点是否稳定的方法:间接法:若存在某个邻域的任一初值出发,都有,称是方程(1)的稳定平衡点。直接法:(3)的近似线性方程:(5),,,特征方程,特征根,,平衡点;,平衡点。根据以上的分析,以下为求解该模型的平衡点过的程:令:…………………………(2)(从上式可以看出只有当足够大方可使乙存活)令:…………………………(3)方程(1)的右边不显含自变量t,我们将其

5、称为自治方程。为此:令:解为:,此为(1)的三个平衡点(或奇点)。记记()在处的值列表如下表1种群依存模型的平衡点及稳定性平衡点pq稳定条件不稳定(4.)结果分析:a.显然,P2是甲乙相互依存而共生的平衡点,下面我们着重分析p2稳定的条件。由p2的表达式容易看出,要使平衡点p2有实际意义,即位于相平面第一象限,必须满足下面两个条件中的一个:由上面的分析知:仅在条A1件下p2才是稳定的,而在A2条件下p2是不稳,而是鞍点。以下画出在条件A1下平衡点P2稳定性的相轨线图:直线和将相平面划分成4个区域::>0,<0;:>0,>0;:<0,>0;:<0,<0。从四个区域中的正

6、负不难看出其相轨线的趋势如下图所示:0P2s2的含义:s2>1表示甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗s2倍;s1s2<1表示s2>1前提下P2存在的必要条件;s1<1,s2>1,s1s2<1的需要,且s1必须足够小,才能在s2>1条件下使s1s2<1成立。以下画出在条件A2下平衡点P2的相轨线图:0P2从上的相轨线图可以看出在A2情况下平衡点P2不稳定,相互提供食物可能使二者均趋于无穷。b.以下是平衡点p1的相轨线图:图1所示情况下,p1(N1,0)稳定,即能够独立生存的种群趋向最大容量,而不能独立生存的种群乙终将灭绝。图2无稳定平衡点,相互提供食物

7、可能使二者均趋于无穷(5.)计算与验证:(仅针对平衡点p2进行数值求解)设,初始值分别取:。先建立M文件:functionxdot=zhier(t,x)r(1)=1.8;r(2)=1.5;a=0.1;b=3;;N(1)=1.6;N(2)=1;xdot=[r(1).*x(1).*(1-x(1)/N(1)+a.*x(2)/N(2));r(2).*x(2).*(-1+b.*x(1)/N(1)-x(2)/N(2))];。求解命令:>>ts=0:0.1:8;>>x0=[0.1;0.1];>>[t,x]=ode45('zhier',ts,x0);[t,x],>>

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