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1、种群相互依存问题1问题的提出一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存。在适当假设下建立三者关系的模型，求其平衡点。2模型的假设假设不考虑植物、哺乳动物和食肉爬行动物对自身的阻滞增长作用。3符号的约定：时间；：表示植物在时刻的数量；：表示哺乳动物在时刻的数量；：表示食肉爬行动物在时刻的数量；：表示植物的固有增长率；：反映了哺乳动物消耗植物的能力；：哺乳动物的死亡率；：反映了植物对哺乳动物的供养能力；：反映了食肉爬行动物掠取哺乳动物的能力；：表示食肉爬行动物的死亡率；：反映了哺乳动物对食
2、肉爬行动物的供养能力。4模型的建立与求解4.1Volterra基本模型的建立设分别表示植物、哺乳动物和食肉爬行动物在时刻的数量。为植物的固有增长率，而哺乳动物的存在使植物的增长率减少，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是植物数量的模型满足(1)比例系数反映了哺乳动物消耗植物的能力。哺乳动物离开植物无法生存，设其死亡率为，则哺乳动物独自存在时有(2)而植物的存在可以为哺乳动物提供食物，但是食肉爬行动物的存在使哺乳动物数量减少，设减少的程度与食肉爬行动物数量成正比，于是哺乳动物数量模型满足(3)其中比例系数反映了植物对哺乳动物的供养能力，反映了食肉爬行
3、动物掠取哺乳动物的能力。食肉爬行动物离开动物无法生存，设其死亡率为，则食肉爬行动物独自存在时有(4)而哺乳动物的存在可以为食肉爬行动物提供食物，于是(4)式右端应加上哺乳动物对食肉爬行动物的增长作用，设为，于是有(5)比例系数反映了哺乳动物对食肉爬行动物的供养能力。综上所述，建立如下微分方程组模型(6)4.2Volterra基本模型的求解4.2.1数值解记植物、哺乳动物和食肉爬行动物的初始数量分别为(7)为求微分方程组及初始条件(7)的解，设，利用MATLAB软件求其数值解，可得的图像及相轨线。见图1。图1关系图及相轨线图从图1中可以看出，是周期函
4、数，相轨线是封闭曲线，从数值解近似定出周期为6.25，用数值积分可以算出在一个周期的平均值。4.2.2平衡点这是一个非线性模型，不能求其解析解。所以通过平衡点的稳定性分析，研究的变化规律，求得微分方程组的平衡点为当然，平衡解对我们来说是没有意义的。尽管该模型可以解释一些现象，但是多数生态系统观察不到Volterra基本模型显示的那种周期震荡，而是趋向某种平衡状态，即系统存在稳定平衡点。一些生态学家认为，自然界里长期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的，即系统受到不可避免的干扰而偏离原来的周期轨道后，其内部制约作用会使系统自动回复原状，如恢
5、复原有的周期和振幅。程序functionf=fun1(t,x);r1=1;r2=0.5;r3=0.6;a1=0.1;a2=0.02;a3=0.06;b=0.1;f=[x(1)*(r1-a1*x(2));x(2)*(-r2+a2*x(1)-b*x(3));x(3)*(-r3+a3*x(2))];clc,clearts=0:0.1:20;x0=[100,40,6];[t,x]=ode45('fun1',ts,x0);subplot(1,2,1)plot(t,x(:,1),'r-',t,x(:,2),t,x(:,3));grid,gtext('x1(t)
6、'),gtext('x2(t)'),gtext('x3(t)');gridsubplot(1,2,2)plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))grid
