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1、种群的相互依存摘要：甲乙两种群的相互依存有三种形式：1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。本文分别对这三种相互依存的关系进行分析，从种群的增长规律出发，对Logistic模型进行修改，建立两种群相互依存的模型。并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析,分别得出了两种群相互依存的条件。关键词：Logistic模型微分方程组稳定点鞍点平衡点自治方程第一种情况的分析：（1.）模
2、型假设1.以、表示甲、乙二种群在时刻的数量，表示甲种群的固有增长率,分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量2.甲独自生存时，数量变化服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。3.乙种群没有甲的存在会灭亡,死亡率为,甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。4.乙为甲提供食物是甲消耗的s1倍,甲为乙提供食物是乙消耗的s2倍(2.)模型建立:经过分析得到以下方程:………………(1)上式刻画了区域所考查的两种群的发展规律，即为依存模型.(3)模型求解:欲求此问
3、题的相互依存的条件我们先来介绍以下的知识内容：微分方程理论性简介：此问题为动态过程，且建此模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。为了分析这种稳定与不稳定我们常常不是通过求解微分方程，而是通过用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。a.一阶微分方程的平衡点及其稳定性:设一阶微分方程为（1）,方程右端不显含自变量t,称为一阶非线性（自治）方程。的实根为微分方程（1）的平衡点.同时也是方程（1）的解（奇解）。判断平衡点是否稳定的方法：间接法：若从某邻域的任一初值出发，都有，称是方程(1)的稳定平衡点。直接法：(1)的近似线性方程（2），
4、，则对于方程（1）和（2）都是稳定的；，则对于方程（1）和（2）都是不稳定的；b.二阶微分方程的平衡点及其稳定性:二阶方程可用两个一阶方程表示为：（3）右端不显含自变量t是自治方程。代数方程组：（4）的实根为微分方程（3）的平衡点.记作判断平衡点是否稳定的方法：间接法：若存在某个邻域的任一初值出发，都有，称是方程(1)的稳定平衡点。直接法：(3)的近似线性方程：（5），，，特征方程，特征根，，平衡点；，平衡点。根据以上的分析，以下为求解该模型的平衡点过的程：令:…………………………（2）（从上式可以看出只有当足够大方可使乙存活）令:…………………………（3）
5、方程（1）的右边不显含自变量t,我们将其称为自治方程。为此：令：解为：，此为（1）的三个平衡点(或奇点)。记记（）在处的值列表如下表1种群依存模型的平衡点及稳定性平衡点pq稳定条件不稳定(4.)结果分析：a.显然，P2是甲乙相互依存而共生的平衡点，下面我们着重分析p2稳定的条件。由p2的表达式容易看出，要使平衡点p2有实际意义，即位于相平面第一象限，必须满足下面两个条件中的一个：由上面的分析知：仅在条A1件下p2才是稳定的，而在A2条件下p2是不稳，而是鞍点。以下画出在条件A1下平衡点P2稳定性的相轨线图：直线和将相平面划分成4个区域：：＞0，＜0；：＞0，
6、＞0；：＜0，＞0；：＜0，＜0。从四个区域中的正负不难看出其相轨线的趋势如下图所示：0P2s2的含义：s2>1表示甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗s2倍；s1s2<1表示s2>1前提下P2存在的必要条件；s1<1，s2>1,s1s2<1的需要，且s1必须足够小，才能在s2>1条件下使s1s2<1成立。以下画出在条件A2下平衡点P2的相轨线图：0P2从上的相轨线图可以看出在A2情况下平衡点P2不稳定，相互提供食物可能使二者均趋于无穷。b.以下是平衡点p1的相轨线图：图1所示情况下，p1（N1,0）稳定，即能够独立生存的种群趋向最大容量，而
7、不能独立生存的种群乙终将灭绝。图2无稳定平衡点，相互提供食物可能使二者均趋于无穷（5.）计算与验证：（仅针对平衡点p2进行数值求解）设，初始值分别取：。先建立M文件：functionxdot=zhier(t,x)r(1)=1.8;r(2)=1.5;a=0.1;b=3;;N(1)=1.6;N(2)=1;xdot=[r(1).*x(1).*(1-x(1)/N(1)+a.*x(2)/N(2));r(2).*x(2).*(-1+b.*x(1)/N(1)-x(2)/N(2))];。求解命令：>>ts=0:0.1:8;>>x0=[0.1;0.1];>>[t,x]=ode
8、45('zhier',ts,x0);[t,x],>>
