连续系统的复频域分析.doc

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1、连续系统的复频域分析一、拉普拉斯变换及其曲面图用MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图拉普拉斯变换是分析连续时间信号的有效手段，对于当t®¥时信号幅度不衰减或增长的时间信号，其傅里叶变换不存在，但我们可以用拉普拉斯变换来分析它们。连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换定义为：其中s=σ+jw，若以s为横坐标（实轴），jw为纵坐标（虚轴），复变量s就构成了一个复平面，称为s平面。显然，F(s)是复变量s的复函数，为了便于理解和分析F(s)随s的变化规律，我们可以将F(s)写成其中

2、F(s)

3、为复信号F(s)的模，而j(

4、s)为F(s)的相角。从三维几何空间的角度来看，F(s)和φ(s)对应着复平面上的两个曲面，如果我们能绘出它们的三维曲面图，我们就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换F(s)随复变量s的变化。上述过程，我们可以利用MATLAB的三维绘图功能来实现。现在考虑如何用MATLAB来绘制s平面的有限区域上连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的曲面图，我们以单位阶跃信号e(t)为例来说明实现过程。我们知道，对单位阶跃信号f(t)=e(t)，其拉普拉斯变换为。首先，我们用两个向量来确定绘制曲面图的s平面的横、纵坐标的

5、范围。例如，我们可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为：x1=-0.2:0.03:0.2;y1=-0.2:0.03:0.2;然后再调用前面介绍过的meshgrid()函数来产生矩阵S，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域，对应的MATLAB命令如下：[x,y]=meshgrid(x1,y1);s=x+i*y;上述命令产生的矩阵s包含了复平面-0.2<σ<0.2、-0.2

6、mesh绘出其曲面图，对应命令为：fs=abs(1./s);%计算拉氏变换在复平面上的样点值mesh(x,y,fs);%绘制的氏变换曲面图surf(x,y,fs);title('单位阶跃信号拉氏变换曲面图');colormap(hsv);axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0,60]);rotate3d;执行上述命令后，绘制的单位阶跃信号拉普拉斯曲变换面图如图所示例：已知连续时间信号f(t)=sin(t)e(t)，求出该信号的拉普拉斯变换，并用MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图。解：该信号的拉普拉

7、斯变换为我们可以用上面介绍的方法来绘出单边正弦信号的拉普拉斯变换的曲面图，实现这一过程的程序如下：%绘制单边正弦信号拉普拉斯变换曲面图程序clf;a=-0.5:0.08:0.5;b=-1.99:0.08:1.99;[a,b]=meshgrid(a,b);d=ones(size(a));c=a+i*b;%确定绘制曲面图的复平面区域c=c.*c;c=c+d;c=1./c;c=abs(c);%计算拉普拉斯变换的样值mesh(a,b,c);%绘制曲面图surf(a,b,c);axis([-0.5,0.5,-2,2,0,

8、15]);title('单边正弦信号拉氏变换曲面图');colormap(hsv);上述程序绘制的曲面图如图所示。二、由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系我们知道，若信号f(t)的傅里叶变换存在，则其拉普拉斯变换F(s)与傅里叶变换F(jw)存在着如下关系：也即在信号拉普拉斯变换F(s)中令s=0，就可得到信号的傅里叶变换。从三维几何空间的角度来看，信号f(t)的傅里叶变换F(jw)就是其拉普拉斯曲面图中虚轴（σ=0）所对应的曲线。我们可以通过将F(s)曲面图在虚轴上进行剖面来直观地观察信号拉普拉斯变换与其傅

9、里叶变换的对应关系。例：试利用MATLAB绘制信号f(t)=e(t)-e(t-2)的拉普拉斯变换的曲面图，观察曲面图在虚轴剖面上的曲线，并将其与信号傅里叶变换F(jw)绘制的振幅频谱进行比较。解：根据拉普拉斯变换和傅里叶变换的定义和性质，我们可求得该信号的拉普拉斯变换和傅里叶变换如下：我们可用前面介绍的方法来绘制该信号的拉普拉斯变换曲面图。为了更好地观察曲面图在虚轴剖面上的曲线，我们定义制绘曲面图的S平面实轴范围从0开始，并用view函数来调整观察视角。实现上述过程的MATLAB程序如下：%绘制矩形信号拉普拉斯

10、变换曲面图程序clf;a=-0:0.1:5;b=-20:0.1:20;[a,b]=meshgrid(a,b);c=a+i*b;%确定绘图区域c=(1-exp(-2*c))./c;c=abs(c);%计算拉普拉斯变换mesh(a,b,c);%绘制曲面图surf(a,b,c);view(-60,20)%调整观察视角axis([-0,5,-20,20,0,2]);title('拉普拉斯变换（