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1、课题第三章微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解§3.3天然气储量问题§3.4最优捕鱼策略教学内容微分方程的模型与实验：1.天然气储量问题的模型与实验2.最优捕鱼策略教学目标1、会利用变化率分析并建立微分方程模型。2、会用软件Mathematica和MATLAB求解微分方程模型。教学重点会利用变化率分析并建立微分方程模型。教学难点引入变量，并得出变量之间的关系双语教学内容、安排教学手段、措施多媒体教学，结合板书作业、后记P693、4教学过程及教学设计备注§3.3天然气储量问题一、天然气储量问题1、问题的提出:天然气资源是现代社会重要的基础能源之一，
2、应合理的开发和利用。对开发公司而言，准确地预测天然气的产量和可采储量，始终是一项重要而又艰难的工作，下面是某天然气公司在1957~1976年20年间对某气田产量的统计资料。某气田1957年至1976年产量表年度1957195819591960196119621963196419651966产量（108m3）1943598292113138148151157年度1967196819691970197119721973197419751976产量（108m3）158155137109897970605345试根据所给的数据资料，建立起该气田产量的预测模型，
3、并验证所建立模型的合理性。2、模型假设及符号说明（1）假设该气田的产量是连续的，没有阶段性停产现象。（2）假设所提供的数据是正常生产情况下，气田的产量。（3）假设没有因意外事故或自然灾害造成停产或减产的情况。（4）假设r（t）为天然气产量的增长率。（5）假设N（t）为天然气田的累积产量。（6）假设Q为气田的年产量。（7）假设气田的可采储量为NR，相对应的开发时间tR。3、问题分析及数学模型根据所给的实际问题，预测气田的产量和可采储量，在这方面，目前国内外的方法很多，但各种预测方法中有一种简单而实用的指数增长模型，它是借鉴英国人口学家Malthus（马尔
4、萨斯）于1798年提出的人口增长模型，而得到的。若假设天然气产量的增长率为r（t），它是时间t的连续函数。气田的累积产量设为N（t），则它们满足如下的关系：而气田的年产量，于是上述方程变为：有统计资料显示，气田的每年产量与累积产量之比与气田的开发时间t存在如下关系，即（5）或写成：，其中：假设气田的可采储量为NR，相对应的开发时间为tR，由上面的分析可得到方程：解之可得：（6）对上式求导预测模型为（7）4、模型的分析与计算（1）模型（3）中a,b的计算由于，所以关键问题在于求出A，B的值。由（1）式，设，其中为第i年的产量，为第i年之前的累积产量，时间
5、t以年为单位，则由所给数据可得根据线性回归的最小二乘估计，令为使L（A，B）最小，取L分别关于A，B的偏导数，并令它们为0。解此方程可得其中：从而。（6）模型（7）中NR的计算对（2）式两边取常用对数可得：（8）其中：。由（8）式和所给的数据，建立回归方程（同上），可求得α、β，从而计算出油田的可采储量（略）。（3）模型的求解将根据上述求得的a，b，NR的值代入模型（6）（7）式便可计算出相应年份累积产量N（t）和年产量Q的预测值。气田储量的mathematica计算程序：%气田储量ch42%文件名：ch42.mdata1={19.0,43.0,59.
6、0,82.0,92.0,113.0,138.0,148.0,151.0,157.0,158.0,155.0,137.0,109.0,89.0,79.0,70.0,60.0,53.0,45.0};data2=Table[0,{n,20}];i=2;For[data2[[1]]=data1[[1]],i<=20,i++,data2[[i]]=data2[[i-1]]+data1[[i]]]data3=Table[0,{m,20},{n,2}];For[i=1,i<=20,i++,data3[[i]]={i,Log[10,data1[[i]]/data2[[
7、i]]]}]Fit[data3,{1,t},t]aa=-0.;bb=0.;a=10^aa;b=Log[10.0]*bb;c=a/b;data4=Table[0,{m,20},{n,2}];For[i=1,i<=20,i++,data4[[i]]={Exp[-b*i],Log[10,data2[[i]]]}]Fit[data4,{1,x},x]alpha=3.36832;bet=2.35678;Nr=10^alpha;Qp[t_]:=a*Nr*Exp[-c*Exp[-b*t]-b*t];Np[t_]:=Nr*Exp[-c*Exp[-b*t]];data5
8、=Table[Qp[t],{t,1,20}];data6=Table[Np[t],{t,1,2
