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1、最优捕鱼策略的数学模型摘要本文针对渔业的合理开发和利用问题，通过分析，将渔场的血按年龄分组，考虑时间连续而年龄离散的实际情况，综合运用微分方程和差分方程等方法建立了嵌入式模型，很好地解决了这一问题。就问题（1）和问题（2）,分别从产量和经济效益两个方面进行了讨论。针对问题（1）,研究结果表明，在保持捕捞努力量为12.80的条件下，可以实现持续最高年收获量为6.228xl07kgo针对问题（2）,考虑懂啊投入的成本的因素，建立了模型1和模型2,给出了渔场的生产能力未受到太大破坏的条件下，通过模型的求解得到了固定努力量为15.16时，捕捞3,4龄鱼的总捕获量最高为4.989xl08kgo另
2、外，注意到幼血具有较高的经济价值，分析讨论了平衡点的稳定性问题。通过计算机模拟饿方法对原始数据进行了误差分析。最后讨论了模型的优缺点及改进方向。1•问题的重述为了保护人类赖以生存的自然坏境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效liftO考虑对某种鱼的最优捕捞策略。假设这种与分4个年龄：1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼、4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（g）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集屮产卵繁殖，平均每条4龄血的产卵量为1.109X10
3、5个，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵期和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量口之比为（1.22X1011）/（1.22x10s+n）o渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）同定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成止比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，两个捕捞强度系数之比为0.42:l/o渔业上称这种方式为固定努力捕捞量。（1）建立数学模型分如何实现可持续捕捞（即每年开始时渔场各年龄组血
4、群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。（2）某渔业公司承担这种鱼的捕捞业务5年，年合同要求5年后鱼群的生产能力不能受太大的破坏。已知承包吋各年龄组鱼群的数量分别为122x109,29.7x109,10.1x109,3.29x109（单位：条），如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高。2模型的假设与符号使用2.1模型的假设(1)该种鱼产卵和孵化集中于每年的最后4个月，且产卵时间服从均匀分布(该假设可能与实际不符，但在方法上不失一般性)。(2)鱼的数量足够大，可以用连续方法來度量。(3)瞬时自然死广系数(即每时刻鱼的自然死亡率)为常
5、数，忽略种群的相互作用及坏境突变造成的影响。(4)捕捞视为连续性的过程，且集中于每年的前8个月进行。(5)该种鱼只分为4个年龄；由于与的年自然死亡率高达80%,可以假设4龄鱼在第二年起始时已全部死亡。(6)在问题(2)中所给初始条件为第一年初的鱼群数量。2.2符号说明X.(t)表示t时刻i龄鱼的数量，特别地，当t=k(k=0,l,2,...)时，，x,(t)表示第k年末,第k+1年初i龄鱼的数量(i=1,2,3,4);b,表示平均每条i龄鱼一年产卵的个数(i=3,4);M表示瞬时自然死亡系数；h,.(k)表示第k年i龄鱼捕捞总重量(i=l,2,3,4)；h,表示稳态一年内i龄鱼的捕捞总
6、重量(i=l,2,3,4)；禺表示平均每条i龄鱼的重量，单位：kg(i=l,2,3,4)；c表示常数1.22x10"；d表示自然死亡率(1/年)；E表示捕获努力量；q,•表示i龄鱼捕捞系数(i=l,2,3,4)；F；•表示i龄鱼捕捞强度系数(Fj=Eq”i=l,2,3,4)；〃表示产卵的密度函数,由假设(1),产卵时间在区间【k+2/3,k+1］上均匀分布,故〃为常数。3问题的分析鱼的整个生活受季节性影响而呈周期性变化，而且其可捕群体补充只能发生在存活的成鱼产卵一段时间Z后。这样，如果仅仅使用连续模型來处理，则将会使模型变得和当复杂。又由于该种鱼的自然死亡时随时间连续发生的，而捕捞时间
7、集中于每年的前8个月，繁殖集中于每年的最后4个月。因此，把该种鱼按年龄分组，考虑时间连续而年龄离散的情况。用微分方程描述每个年龄段的鱼在一年中各个时期t的变化，用差分方程描述鱼群按年度的演化过程。这样，我们把微分方程嵌入差分方程，从而建立了一个嵌入式模型。模型过程大致可以分为以下儿个部分：(1)确定各龄鱼在一年之内的变化过程。(2)建立血群按年度演化的差分方程；由卵孵化的成活率与所产卵的总数的关系，为此所得到的差分方程将是非线性的。(3)通过在
