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1、高中数学圆锥曲线经典题型椭圆一、选择题：1.已知椭圆方程,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为A.B.C.2D.32．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为，点P在第一象限内且在上，若⊥PF1，//PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．2C．D．【答案】B【解析】双曲线的左焦点，右焦点，渐近线，，因为点P在第一象限内且在上，所以设，因为⊥PF1，//PF2，所以，即，即，又，代入得，解得，即。所以，的斜率为，因为⊥PF1，所以，即，所以，所以，解得，所以双曲线的离心率，所以
2、选B.3．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于A．B．C．2D．24.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是A.B.C.D.05.抛物线的准线与双曲线的两渐近线围成的三角形的面积为A.B.C.2D.【答案】D【解析】抛物线的准线为，双曲线的两渐近线为和，令，分别解得，所以三角形的低为，高为3，所以三角形的面积为，选D.6.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们到直线的距离之和等于5,则这样的直线A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D
3、．不存在7.已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于A．B．C．D．8.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.（0，B.（）C.（0，）D.（，1）9.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：10.若圆以抛物线的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是；11.设F是抛物线C1：的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为【答案】【解
4、析】抛物线的焦点为.双曲线的渐近线为，不妨取，因为，所以，所以，不妨取，又因为点也在上，所以，即，所以，即，所以，即，所以双曲线的离心率为。12.已知双曲线的方程为，则双曲线的离心率是.13.若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则=.【答案】【解析】因为焦点在轴上。所以，所以。椭圆的离心率为，所以，解得。14.已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当时，的最小值是。三、解答题：15.(本小题满分13分)已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和
5、轴分别交于点、，与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足（1）求椭圆的标准方程；（2）若，试证明：直线过定点并求此定点.(2)由题意设，设l方程为，由知∴，由题意，∴-----------------7分同理由知∵，∴（*）------8分联立得∴需（**）且有（***）-------10分（***）代入（*）得，∴，由题意，∴(满足（**）)，----12分得l方程为,过定点(1,0),即P为定点.---------------13分16.（本大题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半
6、径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为由得：4分由得：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①6分∴17．若椭圆:和椭圆:满足,则称这两个椭圆相似，是相似比.(Ⅰ)求过(且与椭圆相似的椭圆的方程；(Ⅱ)设过原点的一条射线分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于、点（点在线段上）.①若是线段上的一点，若，，成等比数列，求点
7、的轨迹方程;②求的最大值和最小值.(Ⅱ)①当射线的斜率不存在时,设点P坐标P(0,,则,.即P(0,).………………5分当射线的斜率存在时，设其方程,P(由,则 得同理………………………7分又点P在上，则，且由,即所求方程是.又(0,)适合方程,故所求椭圆的方程是.………………9分②由①可知,当的斜率不存在时，,当的斜率存在时,,,………………11分综上,的最大值是8,最小值是4.………………12分18.（本小题满分12分）已知长方形ABCD，，BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系
8、xoy.（Ⅰ）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交（Ⅰ）中椭圆于M，N两点，是否存在直线，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线的方程为.设M，N两点的坐标分别为.联立方程：消去整理得，有………………7分若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以，…………8分所以，，即所以，即，…………
