高三数学教案：易错题举例解析12.docx

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1、高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。●忽视等价性变形，导致错误。x>0x+y>0x>1x+y>3y>0xy>0，但y>2与xy>2不等价。x3f(1)0,3f(2)6,求f(3)的范围。【例1】已知f(x)=ax+b，若3ab0①错误解法由条件得3b62a②2②×2－①6a15③①×2－②得8b

2、2④333③+④得103ab43,即10f(3)43.33333错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x)axx，其值是同时受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定b取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。f(1)ab正确解法由题意有2ab,解得：f(2)2a1[2f(2)f(1)],b2[2f(1)f(2)],33f(3)3ab16f(2)5f(1).把f(1)和f(2)的范围代入得39916f(3)37.33在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维

3、具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。第1页共17页●忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】(1)设、是方程x22kxk60的两个实根，则(1)2(1)2的最小值是49(B)8(C)18(D)不存在(A)4思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k,k6,(1)2(1)2221221()222()24(k3)249.44有的学生一看到49，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思4维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择

4、答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根、，∴4k24(k6)0k2或k3.当k3时，(1)2(1)2的最小值是8；当k2时，(1)2(1)2的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2)2+y2=1,22已知(x+2)4求x+y的取值范围。错解由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+8)2+283，3822282228∴当x=－3时，x+y有最大值3，即x+y的取值范围是(－∞,3]。分析没有注意x的取值范围要受已

5、知条件的限制，丢掉了最小值。2y22y2事实上，由于(x+2)+4=1(x+2)=1－4≤1－3≤x≤－1，第2页共17页从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴x2+y2的取值范围是[1,28]。3注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+1)2+(b+1)2的最小值。ab错解(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+1+1+4≥2ab+2+4≥4ab1+4=8,

6、aba2b2abab∴(a+1)2+(b+1)2的最小值是8.ab分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=1,第二次等号成立的条件是ab=1，显然，这两个条件是不2ab能同时成立的。因此，8不是最小值。事实上，原式=a2+b2+1+1+4=(a2+b2)+(1+1)+4=[(a+b)2－2ab]+[(1+a2b2a2b2a1)2－2]+4bab1=(1－2ab)(1+a2b2)+4，由ab≤(ab)2=1得：1－2ab≥1－1=1,且12≥16，1+12≥1

7、7，242222abab∴原式≥1×17+4=25(当且仅当a=b=1时，等号成立)，222∴(a+1)2+(b+1)2的最小值是25。ab2●不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列an的前n项和Sn2n1，求an.错误解法nn1nn1n1anSnn1(21)(21)222.S错误分析显然，当n1时，a1S132111。错误原因：没有注意公式anSnSn1成立的条件是。第3页共17页因此在运用anSnSn1时，必须检验n1时的情形。即：S1(n1)an2,nN)。Sn(n(2)实数a为何值时，圆x

8、2y22axa210与抛物线y21x有两个公共2点。错误解法将圆x2y22axa210与抛物线y21x联立，消去y，1)xa22得x2(2a10(x0).①20因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得2a10，解之得2a210.a17.8（如图2－2－1；2－2－2）显然，当a0时，圆与抛物线有错误分析两个公共点。yyOxOx图2－2图2－2要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。0