高三数学教案：易错题举例解析12.pdf

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1、高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。●忽视等价性变形，导致错误。x>0x+y>0x>1x+y>3，但与不等价。y>0xy>0y>2xy>2x【例1】已知f(x)=ax+，若3f(1)0,3f(2)6,求f(3)的范围。b3ab0①错误解法由条件得b32a62②②×2－①6a15③8b2①×

2、2－②得④33310b431043③+④得3a,即f(3).33333错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数xf(x)ax，其值是同时受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定b取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。f(1)ab正确解法由题意有b,解得：f(2)2a212a[2f(2)f(1)],b[2f(1)f(2)],33b165f(3)3af(2)f(1).把f(1)和f(2)的范围代入得3991637f(3).33在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，

3、就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。第1页共17页●忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】222(1)设、是方程x2kxk60的两个实根，则(1)(1)的最小49值是(A)(B)8(C)18(D)不存在4思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k,k6,2222(1)(1)21212()22()232494(k).4449有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思4维缺乏反思性的体现。如果能以反思性

4、的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。2原方程有两个实根、，∴4k4(k6)0k2或k3.22当k3时，(1)(1)的最小值是8；22当k2时，(1)(1)的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。22y22(2)已知(x+2)+=1,求x+y的取值范围。42222282错解由已知得y=－4x－16x－12，因此x+y=－3x－16x－12=－3(x+)+328，3822282228∴当x=－时，x+y有最大值，即x+y的取值范围是(－∞,]。333分析没

5、有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。222y2y事实上，由于(x+2)+=1(x+2)=1－≤1－3≤x≤－1，44第2页共17页222228从而当x=－1时x+y有最小值1。∴x+y的取值范围是[1,]。32x注意有界性：偶次方x≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数a>0，圆锥曲线有界性等。●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。1212【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)+(b+)的最小值。ab1212221121错解(a+)+(b+)=a+b+++4≥

6、2ab++4≥4ab+4=8,22abababab1212∴(a+)+(b+)的最小值是8.ab22分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等号成立的11条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不2ab能同时成立的。因此，8不是最小值。2211221121事实上，原式=a+b+++4=(a+b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+2222ababa122)－]+4bab1=(1－2ab)(1+)+4，22abab211111由ab≤()=得：1－2

7、ab≥1－=,且≥16，1+≥17，22222422abab1251∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)，222121225∴(a+)+(b+)的最小值是。ab2●不进行分类讨论，导致错误n【例4】(1)已知数列an的前n项和Sn21，求an.nn1nn1n1错误解法anSnSn1(21)(21)222.11错误分析显然，当n1时，a1S1321。错误原因：没有注意公式anSnSn1成立的条件是。第3页共17页因此在运用anSnSn1时，必须检验n1时的情形。即：S1(n1)an。S

8、n(n2,nN)22221(2)实数a为何值时，圆xy2axa10与抛物线yx有两个公共2点。22221错误解法将圆xy2axa10与抛物线yx联立，消去y，2212得x(2a)xa10(x0).①201因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得2a0，解之得22a10.17a.8错误分析（如图2－2－1；2－2－2）显然，当a0时，圆与抛物线有两个公共点。yyOxOx图2－2图2－2要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。0