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1、taoti.tl100.com你的首选资源互助社区高考数学高频易错题举例解析高中数学中有许多题目解题时，虽谈不上难，却很容易被忽略。深刻一点讲也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，以致经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，加强逻辑思维的严密性训练，希望能对同学们的解题起到抛砖引玉的作用。最后祝各位同学高考取得成功！●不进行分类讨论，导致错误【例1】(1)已知数列的前项和，求错误解法错误分析显然，当时，。错误原因：没有注意公式成立的条件是。因此在运用时，必须检验时的情形。即：。(2)实数为
2、何值时，圆与抛物线有两个公共点。错误解法将圆与抛物线联立，消去，得①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得，解之得错误分析（如图2－2－1；2－2－2）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。xyO图2－2－2xyO图2－2－1第35页共35页taoti.tl100.com你的首选资源互助社区要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程①有一正根、一负根时，得解之，得因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。思考题：实数为何值时，圆与抛物线，(1)有一个公共点
3、；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例2】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。错解(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。事实上，原式=a2+b2+++4=(a
4、2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4=(1－2ab)(1+)+4，由ab≤()2=得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)，∴(a+)2+(b+)2的最小值是。第35页共35页taoti.tl100.com你的首选资源互助社区●忽视隐含条件，导致结果错误。【例3】(1)设是方程的两个实根，则的最小值是思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：有的学生一看到，常受
5、选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根，∴Þ当时，的最小值是8；当时，的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2)已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范围。错解由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+，∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞,]。分析没有注意x的取值范围要受已知条
6、件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+=1Þ(x+2)2=1－≤1Þ－3≤x≤－1，从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴x2+y2的取值范围是[1,]。注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。第35页共35页taoti.tl100.com你的首选资源互助社区【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。错解(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++
7、4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。事实上，原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4=(1－2ab)(1+)+4，由ab≤()2=得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)，∴(a+)2+(b+)2
8、的最小值是。●忽视等价性变形，导致错误。Û，但与不等价。【例4】已知f(x)=ax+，若求的范围。错误解法由条件得②×2－①①×2－②得+得错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。第35页共35页taoti.tl100.com你的首选资源互助社区正确解法由题意有,解得：把和的范围代入得在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有
