有限差分法在斜拉桥拉索内力测试中的应用

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1、有限差分法在斜拉桥拉索内力测试中的应用陈水生1温世游1谢彩文2（1华东交通大学土木建筑学院南昌330013）（2江西省公路开发总公司南昌）摘要：使用有限差分法将拉索自由振动偏微分方程转化为常微分方程，用状态空间法求解广义特征值，从而计算系统的模态频率。将计算得到的模态频率与测试得到的模态频率比较，进而修正拉索张拉力，直到计算频率与测试频率近似相等，最后修正的张拉力则为拉索内力。通过对实际工程的测试结果分析表明，本文方法与传统计算方法的不同，说明了本文算法的通用、准确、可靠性。关键词：桥梁工程；有限差分法；

2、斜拉索；测试技术；模态频率；中图分类号：U443.38;O329440前言斜拉索是斜拉桥的主要承重构件之一，也是为斜拉桥主梁提供弹性支撑的构件，拉索内力的大小直接影响拉索自身及主梁的安全。所以，如何准确的测试拉索内力，是保障大桥安全运营极为重要的研究课题。对于正在使用的斜拉索，使用振动测试是首选方法，通过振动响应信号，由频谱分析得到拉索的振动基频，然后通过拉索振动频率与内力的关系求得内力。影响拉索内力的准确性有两个方面：其一是准确的测定拉索的振动频率，这涉及测试设备的质量和频谱分析的准确性；其二是振动频率

3、与拉索内力关系方程的准确性。目前广泛使用的是由标准弦方程得到的内力与频率方程[1]，这对拉索垂度很小的斜拉索是适用的，而对拉索垂度较大的斜拉索将有较大的误差。大量研究表明，拉索振动频率与拉索垂度、抗弯刚度有关。M.Pacheco[2]及陈[3]的研究均表明，随拉索垂度的增大拉索振动频率增大。所以，为了准确计算拉索振动频率，考虑垂度及抗弯刚度的影响是必要的。本文综合考虑索的垂度及抗弯刚度，使用有限差分方法将拉索自由振动方程离散，使用复特征值求解方法，计算拉索振动频率。由环境激励测试拉索振动响应，通过频谱分析

4、得到索的振动基频。对钱塘江三桥进行了现场测试，使用本文方法计算了拉索内力，并与传统方法进行了比较。1斜拉索自由振动方程及特征值求解不计索的轴向振动，由牛顿定律并考虑索的垂度及抗弯刚度，可以得出斜拉索面内自由振动方程[4]：（1）其中，为拉索在Y方向的振动位移，为索的自重在Y方向产生的垂度曲线，为初始切向拉力，为索的振动拉伸而产生的附加切向动拉力，为索的弧长坐标，为索的单位长度质量，为索的倾斜角度，为索的抗弯刚度。认为拉索抗弯刚度沿索长为常数，由几何变换关系[5]，方程(1)可表示为：(2)其中：分别为X方

5、向静、动张拉力，在整个索长L范围内为常数。令的解表示为如下分离变量形式：(3)其中可表示为：(4)由线性阻尼系统理论可知，可表示为：(5)为无阻尼索的面内自振频率，为对应的模态阻尼比。方程(2)中的线性表达式为[5]：(6)(7)其中为跨中垂度在Y方向的值。44由(3)～(7)各式，方程(2)可记为：（8）图4-1斜拉索差分离散模型用中心差分法求解，将索均分为段，每段长度。将方程(8)中的微分项化为各结点位移形式。对于非边界结点，有差分表达式：（9b）(9a)式中对边界结点（铰节点）：(10a)(10b)

6、将的积分转化为离散形式：(11)由方程(8)可以得出如下特征方程：(12)(13)为对角矩阵，对角元素为。，、、分别是抗弯刚度、静态张拉力、动态张拉力提供的等效刚度矩阵。为求解(12)式的特征值问题，引进状态向量：(14)则(12)式可以转化为以下广义特征值问题：(15)其中：(16)则由(15)式可以求得对共轭特征值，再由(5)式可以求出各阶模态无阻尼自振频率。2斜拉桥拉索自振频率测试及内力分析由方程(8)和(13)式可知，特征分析得到的自振频率与拉索内力是对应的，即某一内力值，可以计算出拉索对应的各阶

7、自振频率。使用频谱分析及参数识别技术，由环境振动测试得到的振动加速度信息，识别出拉索振动频率。根据识别出的拉索振动频率，由标准弦振动频率方程得出一个力：　　　　　(17)式中：为拉索的轴向内力；为拉索的阶振动频率；为拉索的振动频率阶数。将此力作为拉索的初始力，代入(15)式，计算得到拉索的振动频率，与测试识别出的频率相比，当两者相差较大时，按5％的比例增大或减小内力值，按(15)式重新计算振动频率，直到计算得到的频率与测试得到的值相差很小时为止，此值即为拉索的内力值。本文以钱塘江三桥近萧山方向的15号斜拉

8、索为测试对象（如表1所示），为有效的测试出拉索响应的各阶频率成分，在拉索长度18%的位置安装压电式加速度传感器。试验数据采样频率及滤波截止频率均为1000Hz，本文以面内测试数据为分析对象。由环境激励得到的自振信号如图２所示被测斜拉索基本参数[6]表1编号索长(m)索外径(m)弹性摸量(Mpa)单位索长质量(Kg/m)初始张拉力(kN)倾角（0）基频(Hz)15154.70.152.1*10584.14.37*10327.10