课本一道例题的探究.doc

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1、课本一道例题的探究-----------结合2012年高考题谈斜率的一些性质438600湖北省罗田县第一中学曾尧锋【摘要】本文通过课本圆锥曲线的例题结合历年高考题谈斜率的一些性质，探求高考试题的联系，认真研究高考试题，从而强化对课本的作用的，发掘其真正内涵，探索出一般性的结论.【关键词】课本例题高考斜率性质变式题课本是教学之本，考题之源。近几年的高考命题坚持贯彻高考试题“源于课本”的命题原则，一直都很注重强化课本的作用。其中许多题目都能在课本上找到影子，是课本上题目的变形和转化，因此课本典型例题，习题值得师生关注与思考。

2、人教版教材选修2-1有这样一道例题（第41页例3）设点，的坐标分别为（-5,0），（5，0），直线，相交于点，且它们的斜率之积是,求点的轨迹方程.这是一道很具有典型性和代表性的题，是我们探究圆锥曲线斜率的一个很好的素材，同时也是近年高考命题者亲睐的内容之一。我们知道点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，该题可变形为：设点，是椭圆长轴的端点，点在椭圆上，求直线，的斜率之积.在求斜率之积的过程中发现可以将其拓展到一般的椭圆：探究一若椭圆上任意一的点P（不是长轴的端点）与长轴的两个端点的连线斜率分别为与，则椭圆的离心率满足：。推广更

3、一般结论：定理一：有心圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线上任一点与任一直径两端点分别连线,其斜率之积为常数.例1设A，B是椭圆(a>b>0)上关于原点对称的两点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA与PB的斜率分别记为,，离心率为e，则.证明：设A（，），P（,）,则B（-，-）A，P都在椭圆上，故,两式相减变形得：,而故.显然探究一为定理一的特殊情况，例一只证明了曲线为焦点在轴上的情况。利用探究的结论可以比较方便的解决这道高考题：例2（2012年湖北高考）设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直

4、线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足.当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;HyyyA(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点.是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。MODx图1图2（01)（邮编438600）解析:(Ⅰ)略(Ⅱ)标准答案利用例一的结论可简写为：如图2，设,,则,记直线斜率分别为易知，，而由上述结论知，故，从而得到本题第一问源于教材选修2

5、-1第41页例2的背景，考察了轨迹的求法，又体现了圆与椭圆的联系，紧扣教材；同时又考察了分类讨论的思想，延续了2011年湖北解析几何题的风格。第二问突显几何味，利用斜率之间的关系及点差法极大的简化运算。由此可以看到，2012年湖北理科高考解析几何题有如下特点：一突出贴近教材，彰显数学文化本题取材于数学2-1第41页例2例3和的背景等，同时试题的表达方式与语言叙述尽可能与教材保持统一。这种做法可以为中学数学教学实施素质教育创造宽松的环境，为高考复习提供“依纲靠本”的导向；二与斜率有关的定值问题是解析几何的“几何味”体现之一

6、，也是高考命题热点，且常考常新；三本题源于2011江苏高考18题，与它有异曲同工之妙。（变式题）（2011年江苏第18题）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为kO（1）（2）略（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB.解析：记直线斜率分别为，易知，故，所以⊥.实际上，这两道题本质上都是一样的，可见各省高考试题之间也有紧密的联系，并且运用上述性质能大大简化运算.高考试题是各类试题的精华

7、，它与以后的高考命题有着必然的延续性，认真研究高考试题，发掘其真正内涵，探索出一般性的结论，并用于解题中，不仅可以大大简化运算，还可以为我们备考指出明确的方向.探究二圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.类比推广到有心圆锥曲线：定理：“已知直线与曲线：交于两点，的中点为，若直线和(为坐标原点)的斜率都存在，则”，这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.证明设相减得注意到有将上述性质的条件作改变，仍然可以得到与有关的性质：探究三：已知（）是曲线：上的

8、一点，过作斜率互为相反数的两条直线，分别交曲线于两点，则直线的斜率为定值.例3己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为,求C的离心率.解析：设由两式相减，并整理得中点弦关系式即故所以C的离心率若用上述结论，直接可得出，即，解得.通过对一道课本例题的探究，我们深深体会到：在近几年的高考试题中，对