行列式计算及克莱姆法则.ppt

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1、作业：P221（1）7（1）第一周作业点评复习1、n阶行列式的展开定理2、行列式的计算方法（三类）1.定义2.性质3.展开（降阶）.解：根据行列式性质练习4计算行列式解：行和相同练习5计算行列式解：根据行列式展开定理，可作变换镶边法例6计算行列式镶边法适用于相同元素较多的行列式练习7计算行列式解：根据行列式性质化零降阶法练习8求证Cn=Dn证明：当n=1,2时，D1=2=C1,假设当k≤n-1时，等式成立，即Dk=Ck当k=n时，把Dn，Cn，按第一行展开有：由归纳假设Dn-1=Cn-1，Dn-2=Cn-2，故Dn=Cn归纳假设归纳法证明：（递推法）把Dn，Cn，按

2、第一行展开有：即：Dn=Cn故注：归纳法和递推法适用于原行列式能转化为结构相同的低阶行列式的情况。分析行列式结构和规律我们把这个行列式称作n阶范德蒙行列式例计算行列式P18即：j=1j=2j=n-1该行列式的值为：解：（归纳法）当k=2时，有：公式成立.假设当k=n-1时，公式成立，即下证k=n时，公式成立从最后一行开始，每一行减去它相邻的前一行乘以a1,即作线性运算按第一列展开，有：每一列均可提取公因子，则：n-1阶范德蒙行列式故有：即：证毕解：由范德蒙行列式的计算公式有：例计算行列式解：由范德蒙行列式的计算公式有：练习计算行列式关于范德蒙行列式主要掌握两点：1、

3、能识别范德蒙行列式2、会利用范德蒙行列式的公式进行计算对称及反对称行列式在行列式Dn=(aij)中，若aij=aji,称为对称行列式；若aij=-aji，称为反对称行列式试证：奇数阶反对称行列式等于零及行列式性质，有：定义：证明：由问题：反对称行列式主对角线上的元素有什么特点？n为奇数，故D=-D有D=0证毕练习：判断下列结果是否正确。答案：正确答案：错误练习：计算行列式答案：D=0§1.4行列式的应用——克莱姆法则1、n元线性方程组（1.17）定义1若bi(i=1,2,…，n)不全为0，则称（1.17）式为非齐次线性方程组，称为方程组（1.17）的系数行列式.定义

4、2若bi=0(i=1,2,…，n)，则称（1.17）式为齐次线性方程组其系数aij(i,j=1,2,…，n)构成如下行列式对于齐次线性方程组x1=x2=…=xn=0一定是它的解,这个解叫做齐次线性方程组的零解.如果一组不全为零的数是次线性方程组的非零解.齐次线性方程组一定有零解,但不一定有非零解.方程组的解,则它叫做齐回顾当系数行列式有唯一解克莱姆法则的二阶形式定理1若方程组（1.17）的系数行列式则方程组（1.17）有唯一解其中解的表达式对原方程组作如下变换：任取1≤j≤n，用代数余子式A1j，A2j，…Anj分别乘以方程组的第1,2，…n个方程，再相加有：证法一

5、：A1jA2jAnj而可看作如下行列式按第j列的展开故由D≠0,有：即上式满足方程组（1.17），为原方程组的唯一解证法二：先证作线性变换：ri+xjrj(j≠i),得：由原方程组有：即当D≠0时，有故方程组（1.17）的有解且解唯一.证毕练习1：复述克莱姆法则练习2：求解方程组若n元线性方程组的系数行列式则该方程组有唯一解，表示为：解：由故例要使此方程组有唯一解，求k的取值范围解：系数行列式为：由克莱姆法则，要使D≠0,即k≠1故k的取值范围为：{R

6、k≠1}克莱姆法可以用于判断方程组解的唯一性定理2对齐次线性方程组若系数行列式D≠0，则方程组只有零解你能证明吗？

7、对于齐次线性方程组，克莱姆法则有什么变化？由定理2可得逆否命题：定理3若齐次线性方程组有非零解，则D=0小结行列式的计算范德蒙行列式、对称行列式克莱姆法则第一章回顾一、n阶行列式的定义1）、对角线法则2）、排列和逆序数3）、一般项的另一表示方式二、行列式的性质1）、七个性质（转置相等，数乘运算，拆分，相同行为0，成比例为0，线性运算，互换运算）2）、数乘运算、线性运算、互换运算称为行列式初等运算三、行列式的展开法则1）、余子式和代数余子式（实际上是一个比原行列式低阶的行列式）2）、展开法则和性质或四、行列式的计算1）.直接用定义计算;2）.利用性质（化简或化为三角形

8、行列式）3）.利用展开式定理降阶.技巧：归纳、递推特殊行列式：范德蒙行列式、反对称行列式如果线性方程组的系数行列式D0,那么它有唯一解五、行列式应用——克莱姆法则其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列换成常数项b1,b2,…,bn所得到的行列式.作用：解简单线性方程组；判断非齐次线性方程组是否有唯一解作业：P231015计算行列式