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时间:2019-06-11
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1、行列式的展开计算行列式的一种思路是化为三角形行列式求值,另一种思路则是化为较低阶行列式求值,其依据就是行列式的展开。定义1.4在n阶行列式D中,若化掉元素所在的第i行与第j列,则称剩余元素构成的n-1阶行列式为元素的余子式,记为;并称为元素的代数余子式,记为n阶行列式共有个元素,有个代数余子式。例1已知四阶行列式,写出元素的余子式与代数余子式。解:,对于三阶行列式三组同学分别计算第一组:第二组:第三组:结论:定理1.2n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元素与其代数余子式乘积之和,即计算n阶行列式时,只须应用其中一个关系式例2已知4阶行列式D中第二
2、行的元素自左向右依次为4,3,2,1,它们的余子式分别为5,6,7,8,求4阶行列式D的值。解:例3计算四阶行列式解:========(按第2列展开)例4计算四阶行列式例5计算四阶行列式例6计算n阶行列式例7计算n阶行列式§1.4克莱姆法则行列式的一个重要应用就是解线性方程组。本节我们就从最简单的二元线性方程组入手,讨论如何运用行列式解线性方程组。对于二元线形方程组当时,此线形方程组仅有唯一解用行列式表示:当时,此线性方程组的唯一解为(系数行列式)克莱姆法则已知有n个线性方程式构成的n元线性方程组令其系数行列式为系数行列式中第1,2,‥‥n列元素分
3、别用线性方程组常数项对应替换后得到的行列式分别记为:‥‥‥此时,若,则方程组有唯一解例1解线性方程组解:,故此方程组有唯一解所以,该方程组的解为例2解线性方程组该方程组的解为注意:1求出解后,一般应代回方程组检验应用克莱姆法则解线性方程组,计算量仍很大,后面我们会给出更一般的解法。齐次线性方程组:齐次线性方程组的解:显然,所有未知量皆取零,则为齐次线性方程组的一个解,这个解称为零解;此外,若未知量的一组不全为零的值也是它的解,这个解称为非零解。齐次线性方程组一定有零解,但不一定有非零解,下面给出定理常数皆为零的线性方程组定理1.3已知有n个线性方程
4、式构成的n元齐次线性方程组如果有非零解,则系数行列式D=0;如果系数行列式D=0,则有非零解。例3已知齐次线性方程组判断它有无非零解例4已知齐次线性方程组有非零解,求系数k的值。
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