行列式的计算及克莱姆法则

《行列式的计算及克莱姆法则》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、行列式的展开计算行列式的一种思路是化为三角形行列式求值，另一种思路则是化为较低阶行列式求值，其依据就是行列式的展开。定义1.4在n阶行列式D中，若化掉元素所在的第i行与第j列，则称剩余元素构成的n-1阶行列式为元素的余子式，记为；并称为元素的代数余子式，记为n阶行列式共有个元素，有个代数余子式。例1已知四阶行列式，写出元素的余子式与代数余子式。解：，对于三阶行列式三组同学分别计算第一组：第二组：第三组：结论：定理1.2n阶行列式D等于它的任意一行（列）各元素与其代数余子式乘积之和，即计算n阶行列式时，只须应用其中一个关系式例2已知4阶行列式D中第二

2、行的元素自左向右依次为4，3，2，1，它们的余子式分别为5，6，7，8，求4阶行列式D的值。解：例3计算四阶行列式解：========（按第2列展开）例4计算四阶行列式例5计算四阶行列式例6计算n阶行列式例7计算n阶行列式§1.4克莱姆法则行列式的一个重要应用就是解线性方程组。本节我们就从最简单的二元线性方程组入手，讨论如何运用行列式解线性方程组。对于二元线形方程组当时，此线形方程组仅有唯一解用行列式表示：当时，此线性方程组的唯一解为（系数行列式）克莱姆法则已知有n个线性方程式构成的n元线性方程组令其系数行列式为系数行列式中第1，2，‥‥n列元素分

3、别用线性方程组常数项对应替换后得到的行列式分别记为：‥‥‥此时，若，则方程组有唯一解例1解线性方程组解：，故此方程组有唯一解所以，该方程组的解为例2解线性方程组该方程组的解为注意：1求出解后，一般应代回方程组检验应用克莱姆法则解线性方程组，计算量仍很大，后面我们会给出更一般的解法。齐次线性方程组：齐次线性方程组的解：显然，所有未知量皆取零，则为齐次线性方程组的一个解，这个解称为零解；此外，若未知量的一组不全为零的值也是它的解，这个解称为非零解。齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解，下面给出定理常数皆为零的线性方程组定理1.3已知有n个线性方程

4、式构成的n元齐次线性方程组如果有非零解，则系数行列式D=0；如果系数行列式D=0，则有非零解。例3已知齐次线性方程组判断它有无非零解例4已知齐次线性方程组有非零解，求系数k的值。