图形与几何：考题分析

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1、图形与几何：考题分析提高课堂质量是一项系统工程，教师对课标要求、教学内容、主要考点的深刻理解是其中重要节点.图形与几何在初中学段有：（1）图形的性质；（2）图形的变化；（3）图形与坐标三个子模块。一、图形的性质综观近年中考数学试题，有关图形性质部分考查的重点多是学生对图形基本性质的理解与掌握，利用图形性质描述、分析和解决数学问题的能力，以及合情推理能力与演绎推理能力的获得，突出了考查数学基本思想方法、基本活动经验和分析解决问题基本策略。一般关于图形性质的试题的分值在14---20分左右。1.注重基本图形的建构，考查学生利用图形性质分析、解决问

2、题的能力关于图形性质运用的综合型考题，一般是围绕平行线、三角形、四边形、圆等基本图形进行设置。这类题一般由易到难，有一定的梯度，由多个基本图形组成较为复杂的图形，解法、证法多样，解答过程有较为严格的推理要求。解答的这类题的关键是建构与观察，定形与定量，建构是添加辅助线，观察是发现构成问题的基本图形。要求学生熟知图形的基本性质，有一定的观察能力与演绎推理能力。（2009年天津）如图1，已知AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．（1）求∠P的大小；（2）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．PCAOB图1［解

3、］（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠BAP=90°.∵∠BAC=30°，∴∠CAP=∠PAB-∠CAB=60°．∵PA、PC是⊙O的切线，∴PA=PC，∴△PAC是等边三角形.∴∠P=60°.（2）如图，连接BC，则∠ACB=90°．△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，∴BC=1，AC=.∵△PAC是等边三角形，∴PA=AC=.19【评析】本题通过连结BC或OP或OC，建构了符合应用直径上圆周角性质或切线长定理、或切线性质的图形，构成问题的基本图形是直角三角形、等边三角形（两个）和等腰三角形，通过它们的边与角之间的相互联系，

4、使问题得以解决。题目是按先定形、后定量设计的两个问题。掌握切线性质、切线长定理、直径所对圆周角是解答本题的关键.PCAOB图1---1PCAOB图1CAOB图1---2PCAOB图1-1-1图1-2-2CAOB30°图形分解：（2010年天津）AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.（1）如图2—1，若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；（2）如图2—2，若D为AP的中点，求证直线CD是⊙O的切线.ABCOP图2—1［解］（1）如图2-1，∵PA是⊙O的切线，AB为直径，∴∠BAP=90°.在直角△P

5、AB中，∠P=30°，AB=2，∴PB=2AB=4.由勾股定理得.ABCOPD图2—2（2）证明：如图2—2，连接OC、AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=∠ACP=90°.在直角△APC中，D为AP的中点，∴CD=AP=PD.∴∠P=∠DCP.又∵OC=OB，∴∠B=∠OCB.∴∠B+∠P=∠OCB+∠DCP=90°.∴∠OCD=90°.∴直线CD是⊙O的切线.19【评析】此题有计算，有证明，难度不高，是圆的基本性质应用的综合考题。重点考查的是切线的性质和判定、直径所对圆周角性质、直角三角形和等腰三角形性质、三角形全等的判定和性质等内容。

6、题（2）证明中添加的辅助线建构了符合切线证明、直径所对圆周角性质应用的图形，构成问题的基本图形是直角三角形、等腰三角形或全等三角形（三角形中位线），进而使相切问题先转化为垂直问题，再转化为这些基本图形的边角关系问题，使解题思路清晰。本题解法灵活多样，对学生图形基本性质的掌握和思维能力的考查具有较好的效度.ABCOP图2—1AB30°OP图2-1-1切线直径ABCOPD图2—2ABCOPD图2-2-1ABCOPD图2-2-2图形分解：（2011年天津）已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB，OA、OB与⊙O分别交于点D、E．（1）如图1，若⊙O的

7、直径为8，AB=10，求OA的长（结果保留根号）；（2）如图2，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形，求的值．图1［解］（1）如图1，连接，则．∵与⊙相切于点，∴．∴在△中，由，，得．图2在中，由勾股定理，得．（2）如图2，连接，则．19∵四边形是菱形，∴．∴为等边三角形，有．由（1）知，，∴，∴．∴．【评析】题（1），通过连接过切点的半径，使问题转化为已知等腰三角形的底边和底边高求腰长，考查了切线的性质，等腰三角形的性质和勾股定理；题（2）主要考查的是菱形的性质，等边三角形、含30°角的直角三角形的性质，上述解法用了等线段的代换，将OD与

8、OA的比转化为OC与OA的比，本题的解法多样，如连接DE交OC与H，可将OD与OA的比转化为OH与OC的比，或用CE替代OD，可转化为求CE与OA的比，也是BC与B