初一几何——三角形的边角关系(一).doc

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1、泛美国际学校数学培优竞赛教学案初一几何——三角形的边角关系（一）【学习目标】1．根据三角形、多边形内角和定理计算较复杂图形中的相关角度。2．充分利用三角形三边关系解决相关问题。3．学会并掌握双垂直图形。【知识库】1、三角形的边：三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短）由上式可变形得到：a>c－b，b>a－c，c>b－a即有：三角形的两边之差小于第三边2、高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。3、中线：连接三角形的顶点和它对边的中点

2、的线段，称为三角形的中线【规律探索】（北京市竞赛题）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　）．A．∠A＝∠1＋∠2B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2D．3∠A＝2（∠1＋∠2）变式：想一想，如果当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2之间又有什么数量关系呢？试画出图形并说明。【题型精讲】重难点一：三角形的面积。例一：如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．若AC=8，BC=6，AB=10，则CD的长为．B

3、ACP例二：如图，等腰三角形ABC中，两腰AB=AC，点P在底边BC上任意一点，求证：点P到两腰的距离之和等于等腰三角形腰上的高。（要求画出草图再求证）拓展延伸：已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题：（1）若点P在一边BC上（图1），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；（2）若当点P在△ABC内（图2），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）若点P在△ABC外（图3），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的

4、数量关系？请说明理由重难点二：三角形的三边关系例三：已知三角形三边分别为2，a-1，4，那么a的取值范围是()A.1(AB+AC)练习：1、已知a、b、c是ΔABC的三边长，化简

5、a+b-c

6、-

7、a-b-c

8、2、已知三角形的三边长a、b、c都是整数，且a≤b＜c，b=7，则这样的三角形有多少个？3、OBAC已知O是△ABC中任意一点，求证：(AB

9、+AC+BC)＜OA+OB+OC第2页共2页泛美国际学校数学教研室数学的学习可以让我们理性面对生活，可以让我们学会坚持和变得坚强。——吴老师泛美国际学校数学培优竞赛教学案拓展训练：1、不等边ΔABC的两条高分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，试求它的长。2、如图的△ABC中，D、E为三角形内任意两点，连接BD，AE，证明：CED3、如图、已知直线a和直线外同侧两点M、N。请在直线a上找一点P，使∣PM-PN∣的值最大，并简要说明理由。重难点三：三角形的角度计算（建立方程）例六：已知：如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝__

10、____．例七：锐角三角形中，∠A=2∠B，求∠B的取值范围。例八：已知：如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝___________BDAEC练习：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的点，∠BDA=∠BAD，∠CEA=∠CAE，∠DAE=∠BAC，求∠BAC的度数。拓展训练：1、（江苏省竞赛题）△ABC中，高BD和CE所在的直线相交于O点，若△ABC不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC的度数。★2、△ABC三个内角∠A，∠B，∠C满足以下条件：3∠A＞5∠B，3∠C≤2∠B.（1）试找出两组符合条件的∠A，

11、∠B，∠C的度数；（2）满足条件的三角形是什么三角形？说明理由。重难点四：基本图形五（双垂直图形）该图形中有哪些相等的角？例九：如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C相等的角的个数是（）A．5B．4C．3D．2DHBCA例十：如图在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，CD平分∠ACB，∠HCD=20°，则∠B=_______.练习：如图，三角形ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度数。拓展延伸：小明在学习

12、三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，E为垂足，∠AM