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1、初中数学中求最值的几种常见方法仪陇县实验学校李洪泉在生活实践中，人们经常面对求最值的问题：如在一定方案中，往往会讨论什么情况下花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；在解数学题时也常常求某个变量的最大值或最小值。同时，探求最值也是中考或一些高中学校自主招生考试中的一个热点内容，是初高中知识衔接的重要内容。这类问题涉及变量多，综合性强，技巧性强，要求学生要有较强的数学转化思想和创新意识。下面从不同的角度讨论如何求一些问题的最值。一、根据绝对值的几何意义求最值实数的绝对值具有非负性，a0，即a的最小值为0，但根据绝对值的代数意义求一些复
2、杂问题的最值就要采用分类讨论法，比较麻烦。若根据绝对值的几何意义求最值就能够把一些复杂的问题简单化。例1：已知Mx1x3，则M的最小值是。【思路点拨】用分类讨论法求出x1x3的最小值是4,此时3x1。如果我们从绝对值的几何意义来看此题,就是在数轴上求一点,使它到点1和点3的距离之和为最短。显然,若x3,距离之和为[1(3)]2(3x)4;若3x1,距离之和为1(3)4;若x1,距离之和为[1(3)]2(x1)4。所以,当3x1时,距离之和最短,最小值为4。故M的最小值为4。二、利用配方法求最值完全平方式具有非负性，22即(ab)0。一
3、个代数式若能配方成m(ab)k的形式，则这个代数式的最小值就为k。例2：设a,b为实数，求a2abb2a2b的最小值。【思路点拨】一是将原式直接配方成与a,b的完全平方式有关的式子可以求出最小值。二是引入参数设a2abb2a2bt，将等式整理成关于a的二次方程，运用配方法利用判别式求最值。解：(方法一)配方得：2ab2a2bab2(b1)a22bab(ab1)23b23b12424(ab1232112)(b1)4b10,b10,即a0,b1时，上式中不等号的等式成立，故所求的最小值当a21为1。（方法二）令a2abb2a2bt，整理得
4、a2(b1)a(b22bt)0，由题可知此关于a的二次方程有实数解，(b222bt)01)4(b3b26b4t10323b1tb2443(b1)21t4当b1时，上式中不等号的等式成立，故t的最小值为1，即原式的最小值为1。例3：若x1y1z2y2z2的最小值为（）23，则x2A．3B.59C.9D.6142【思路点拨】引入参数设x1y1z2k，则x2y2z2就可用含k的代数式23表示，再通过配方求最小值。解：令xy1z2k，则xk1,y2k1,z3k2，123x222yz(k1)2(2k1)2(3k2)214(k5)25959141
5、414当k5xyz5914时，上式中不等号的等式成立。故222的最小值为。14三、利用对称图形求最值根据两点之间线段最短可以求出两条线段之和的最小值。若两条线段在某条直线的同侧时，可以利用轴对称的性质将在某条直线同侧的两条线段转化成在该直线异侧的两条线段，进而求出最值。例4、如下图，已知边长为8cm的正方形ABCD，点E在AB上，且AE2cm。在对角线BD上求作一点P，使APEP最短，并求出它的最小值。【思路点拨】此题是要在段最短”，只需把AP和EP方形是轴对称图形，对角线BD上找一点P，使APEP的和最小。根据“两点之间线转化到一
6、条线段上，这就需要找到E点关于BD的对称点。正BD所在的直线是它的对称轴，而点E的对称点E在正方形的2边BC上，连结AE交BD于点P，连结PE，所以PEPE，AEAPEPAPEP，则点P就是所求作的点。要想求APEP的最小值，只要求AE的长即可。与该图形类似的还有菱形、圆。解：如上图，作出点E关于BD的对称点E，在连接AE交BD于点P，则点P就是所求作的点。由图可知APPEAE826210,即APEP的最小值为10。例5、如下图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,4),点B(6,3)，分别在x轴、y轴上求作点C,D，使四边形ABCD的
7、周长最短？并求出周长的最小值。【思路点拨】已知点A,B为定点，所以AB的长固定不变，这样只要求出ADDCCB的最小值即可。要想求出它的最小值，设法把这三条线段构造在一条线段上，分别作出点A,B的对称点A,B，连接AB，与x轴和y轴分别交于点C,D，则ABADDCCBADDCCB，于是点C,D就是所求作的点。然后分别以AB,AB为斜边构造RtABE和RtABF，易知点E坐标为（6，4），点F坐标为(2,3)，AE4,BE1，所以AB2BE2113，AE17，同理可得，AB则四边形ABCD的周长的最小值是17＋113。四、根据垂线段最短求
8、最值例6（、2011年南充中考）如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,ADABCD2,C60,M是BC的中点。（1）求证：MDC是等边三角形；（2）将MDC绕点M旋转，当MD(即MD)与AB交于一点E,MC（即MC)同
