非标准混合元方法分析及数值模拟.pdf

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1、分类号Q2堑：21一UDC密级——编号至Q12坠2Q墨墨昼Q2Q论．文题目研究生：指导教师：专业：研究方向：二。一一年三月洋一一骅一一一一朗一一I吣Y帆1帆8㈣88㈣99㈣6ANAIJYSISANDNUMERICALSIMULATIoNoFNoNSTANDARDMIXEDELEMENTMETHoDSLiuYangSupervisedbyProfessorLiHongSchoolofMathematicalSciences，InnerMongoliaUniversity,Hohhot，010021，P．R．ChmaMarch，2011原

2、创性声明本入声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得古墓直塞堂及其他教育机构的学位或证书看使用过的材料。与我一同■作的同恚对本研究所做的侄何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。目El期：墨生丝=_。至。乡p在学期间研究成果使用承诺书本学位论文作者究全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙杏大学有权将学位论文的伞部内容或部分保留并肉国家有关机构、部门送交学位论文的复印件弱磁盘．允许编入有关数据瘁进行检索

3、，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。为保护学院和导师的知识产权，作者在学期阅取得的研究成果属予内蒙古大学。作者今后使用涉及在学期阈主要研究内容或研究成果，缀征得内蒙古大学就读期阀导师的同意：若用予发表论文，版权荦僚必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。学位论文作者日弛蟊活指导教师签名：非标准混合元方法分析及数值模拟摘要混合有限元方法在微分方程数值解法中扮演着重要的角色．本文主要围绕分裂正定混合有限元方法和H1．Galerkin混合有限元方法这两个方面开展研究工作．羊丹平于2001年针对多孔介质中可压缩驱动问题的非

4、线性抛物型压力方程提出新的分裂正定混合有限元方法．该方法具有如下优点：形成混合有限元系统的系数矩阵是对称正定的；流函数方程不依赖于压力方程，进而易于求得流函数的近似解．在这里，我们利用分裂正定混合元方法研究了一些发展方程，取得的主要结果如下：·研究一类二阶伪双曲方程的分裂正定混合有限元方法，依照不同的物理量，提出两种分裂混合格式．在所提出的程序中，辅助变量盯=a(x)Vu或矿：n(z)(v毗-i-vu)的逼近解能够不依赖于未知纯量函数让的逼近解而独立求解，不需要求解方程组的耦合系统．证明了半离散混合有限元解的存在唯一性，并得到了空间半

5、离散和全离散格式的误差估计．·通过引入两个变换q：撕和仃：a(x)V让+b(z)v让。，并求解关于v让的常微分方程，进而提出了粘弹性波动方程的一个新的分裂正定混合有限元方法．与传统的混合有限元相比有如下优势：所提出的格式能够将变量仃独立于心和q而求解；含有仃的方程的系数矩阵是对称正定的，易于程序实现．证明了半离散和全离散格式误差估计，并证明了半离散混合元解的存在唯一性．最后，数值结果表明所提出的格式是可行的．我们不难发现该格式具有普遍性，可以用来求解如Sobolev方程和伪双曲方程等重要的发展方程．1998年Pani针对抛物型偏微分方

6、程提出了H1．Galerkin混合有限元方法，该方法较传统的混合有限元方法有如下优势：避免了LBB相容性条件的限制；混合有限元空间垓和％的选取比较自由，空间中的多项式次数可以不同；再者，对流量的L2模估计可以得到较好的阶数．本文中，我们将应用H1一Galerkin混合元方法求解一些重要的发展方程，同时基于HI—Galerkin混合元方法提出一些新的数值格式，获得以下一些结果：·利用H1一Galerkin混合有限元方法研究三类非线性发展方程(RLW-Burgers方程，Burgem-Huxley方程，SRLW方程)．针对RLW-Burg

7、ers方程给出了完善的半离散和全离散格式的误差分析，证明了混合有限元解的存在唯一性．最后，一些数值结果表明H1．Galerkin混合有限元方法对于这三类非线性发展方程都是行之有效的．·引入时空辅助变量q：v让。，提出半线性强阻尼波动方程的新型H1一Galerkin混合有限元数值格式．该方法能够将原方程在时空两个方向同时降阶，得到一阶积分一微分混合系统．证明了一维情况下半离散格式和全离散格式的最优收敛阶误差估计，并将该数值格式推广应用到了多维情形．·到目前为止，H1一Galerkin混合有限元方法研究的问题仅局限于二阶发展方程问题．然而

8、对于高阶发展方程，特别是重要的四阶发展方程问题的研究却没有出现．本文首次提出四阶发展方程的H1一Galerkin混合有限元方法，为了给出理论分析的需要，我们考虑四阶抛物型发展方程．通过引进三个适当的中间辅助变量，形成四个