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1、第二章解析函数§2.1复变函数的概念§2.2解析函数的概念§2.3解析的充要条件§2.4初等函数§2.1复变函数的概念、极限与连续性1.复变函数的定义2.映射的概念3.反函数或逆映射复变函数的概念1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义2.1设E是复平面上的点集,若对任何z=x+iyE,都存在一个或几个复数w=u+iv和z对应,则称在E上确定了一个复变函数，用w=f(z)表示.E称为该函数的定义域.该函数的值域为：例1例2实部等于实部虚部等于虚部oxy(z)Eouv(w)Gw=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)w以下不再
2、区分函数与映射（变换）。在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v与x，y之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）例3解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—旋转变换(映射)见图2例4解oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2图2uv(w)o例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=43.反函数或逆映射例设z=w2则称为z=w2的反函数或逆映射∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)的定义集合为E，函数值集合为G，那么则称z=φ(w
3、)为w=f(z)的反函数（逆映射）.1.函数的极限2.相关定理3.函数的连续性复变函数的极限与连续性定义2.2设复变函数w=f(z)在z0的某个去心邻域内有定义,A是复常数.若对任意给定的e>0,存在d>0,使得对一切满足0<
4、z-z0
5、6、函数的连续性定义2.3例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。证明xy(z)ozz定理2.5设则f(z)在处连续的充分必要条件是都在点连续.定理2.3连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;定理2.4连续函数的复合函数仍为连续函数。有界性：§2.2解析函数的概念一、复变函数的导数1、导数的定义定义2.4设是定义在区域D上的存在，则称在点可导,并把这个极限值称为在点的导数，记做复变函数,z0是区域D内的定点.若极限定义中的极限式可以写为即当在点可导时,注意的方式是任意的.此时，对D内任意一点z,有也可用等表示在z点的导数.若在区域D内每一点都可导,则称在区域D内
7、可导.则例1设在复平面内处处可导，且解 因为所以例2证明在复面内处处连续，但处处不可导.证明 对复平面内任意点z,有故这说明在复面内处处连续.但是,设沿着平行于x轴的方向趋向于0,即于是所以的导数不存在.设沿着平行于y轴的方向趋向于0,即2、可导与连续的关系函数f(z)在z0处可导，则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.事实上,由f(z)在z0点可导,必有).()()()(000zfzzfzzfz¢-D-D+=Dr令,)()(lim000zfzzfz=D+®D所以再由即在处连续.反之,由知,不可导.但是二元实函数连续,于是根据知,函数连续.3、求导法则由
8、于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同.求导公式与法则:(1)其中c为复常数.(2)其中n为正整数.其中其中与是两个互为反函数的单值函数,且二、解析函数定义2.5在区域D内有定义.(1)设,若存在的一个邻域，使得在此邻域内处处可导,则称在处解析,也称是的解析点.(2)若在区域D内每一点都解析，则称在区域D内解析,或者称是区域D内的解析函数.(3)设G是一个区域，若闭区域且在G内解析，则称在闭区域上解析.函数在处解析和在处可导意义不同，前者指的是在的某一邻域
9、内可导,但后者只要求在处可导.函数在处解析和在的某一个邻域内解析意义相同.复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的.事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导.反之,设函数在区域D内可导,则对任意存在z的某一个邻域U,使得UD,由在D内可导,可知在U内可导,即在z处解析.若函数在处不解析，则称是的奇点.若是的奇点,但在的某邻域内,除外,没有其他的奇点，则称是函数的孤立奇点.由例1和例2知,函数是全平面内的解析函数，但是函数是处处不解析的连续函数.根据求导法则
