《高数专升本讲义》第六-第九章.doc

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1、第六章多元函数微分法多元函数的极限运算法则与一元函数完全类似，如四则运算法则、复合极限法则、无穷小的概念及其性质、等价无穷小的替换、夹逼准则等，但不再有所谓的洛必达法则。不再一一指出。下面举几例说明。例6.求（1）（2）；（3）（4）关于二元函数的连续性，请记住一个基本结论：一切二元初等函数在其定义区域内均连续.例7．求解：因为是初等函数定义域内的点，故在点处连续，所以，原式例8．讨论函数设在其定义域内的连续性。解：函数的定义域是全平面，并且当时，是初等函数，从而是连续的；下面考察函数在处的连续性。因为不存在（例4已证），所以在处不连续。四.高阶偏导数对于二

2、元函数，如果其偏导函数仍然可求偏导，一般说来，求得的结果仍然是关于的二元函数，称之为关于的二阶偏导数.按照对自变量求导次序的不同，共有四种不同形式的二阶偏导数：（1）（或记为；（2）（或记为；（3）（或记为；4）（或记为。统称以上四种为二元函数的二阶偏导数，其中第（2）、（3）两种又形象地称为二阶混合偏导。同样，还可定义二元函数关于的三阶以上的偏导数.比如：（或记为称为二元函数关于的三阶偏导数。二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例14.设，求其二阶偏导数.解：注意到，例6中两种二阶混合偏导恰好相同.我们说，这绝对不是偶然的.我们有：定理：如果二元函数的两种二

3、阶混合偏导函数在区域D内点均连续，则必有：。而对大多数二元初等函数来说，定理的条件都不难满足.因此，以后求二元函数的所有二阶偏导函数往往只须求三种就可以了.例15。设二元函数=，证明不存在。证明：（一）当时，而故（二）由定义，因此，不存在。五。全微分要十分清楚可微与连续及可偏导之间的关系，考试时常出判断题或选择题。定理：如果在点处可微，则在点处必连续。但反之未必。定理：.如果在点处可微，则在点处必可偏导，且.但反之未必.注意：以后记：-----（1）例16．设=，（1）求（2）在处的可微性.解：（一）.依定义：；由轮换对称性，（二）.，因为所以，在处的不可微

4、.总结：函数在处连续、可偏导、可微三者之间的关系定理：.对函数，若均在点处连续在点处可微.推广：三元以上的函数的全微分设在点可微，则六.多元复合函数求（偏）导首先回顾全导数公式定理：若函数关于有连续的一阶偏导数，又函数在点处可导，则复合函数（一元）关于可导，且：称上式为全导数公式.注意：（1）由于z通过中间变量u,v而成为的函数，所以相对于偏导数而言，我们称为全导数.（2）上述求全导数的公式也可推广到有更多个中间变量的情形.如，关于有连续的一阶偏导数，又函数在点处可导，则复合函数（一元）关于可导，且：刚才讲到的全导数公式只适用于最简单的多元复合求导，因为最后

5、复合的函数还是一元函数，这太特殊了。对于更一般的情形下，多元复合求偏导常要用到所谓的“链式法则”：定理：.若函数关于有连续的一阶偏导数，又函数在点处可偏导，则复合函数（二元）关于可偏导，且：例22．设，而求解：另解：其实可直接先将代入，得：成为的显式表达的二元函数，直接求导即可。注意：（1）当然上述定理也可推广至有多个中间变量的情形。如：函数关于有连续的一阶偏导数，又函数在点处可偏导，则复合函数（二元）关于可偏导，且：要关注一种有趣的现象：。这里既是的中间变量，又是二元函数的两个自变量之一。这时，如果照搬公式会有：(*)式是有问题的，事实上（*）式上边一条中

6、左、右两边虽都有，但它们原本想要表达的意思是不同的.为区别起见，改记（*）式为：显然，这里暗示是不同的，具体地讲：是把最后复合而成的作为以为自变量的直接函数中的把看作不变，而对求的偏导数；而则是把中的均看作不变，而对求的偏导数.但对于简单函数来说，两者的含义仍然相同。我建议：从此后，不管是复合函数，还是简单函数，都采用以下的写法.总之，以后在求多元复合函数求偏导类型的题时，一要弄清复合结构，即要画出链式图；二要注意不犯记号错误.例23．设求解：令，则由链式法则：类似，注意：这里由于最外面一层函数是抽象函数，故最后的结果中中间变量的记号不能通过回代而消失.这样

7、，就有一个问题：不同的同学可能会用不同的记号来表示中间变量，造成最后答案形式上的不统一，给老师改作业带来麻烦.其实，仔细琢磨一下链式法则的本质，我们关注的无非就是每次求导的顺序而已，最后答案与中间变量的记号其实没任何关系.于是，为简单起见，不如就把中间变量用数字1，2，3，….等来标记.因此，例4又可换一种写法：解：由链式法则：类似，例25．设求解：（分析不要急于用链式法则，而应先用乘积函数的求导公式.至于中间步骤中若遇到复合函数求导，再用链式法则.）；与一元复合函数类似，多元函数也具有一阶微分形式的不变性定理：.设函数在处可微，又函数在点处均可微，则有：上

8、式说明：把看作自变量时微分与把看作中间变量时的微分，