[初三]竞赛专题选讲之――非负数.doc

《[初三]竞赛专题选讲之――非负数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、初中数学竞赛专题选讲(初三.4)非负数一、内容提要1.非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a是非负数，可记作a≥0,读作a大于或等于零，即a不小于零.2.初中学过的几种非负数：⑴实数的绝对值是非负数.　若a是实数，则≥0.⑵实数的偶数次幂是非负数.　若a是实数，则a2n≥0（n是正整数）.⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.　若是二次根式，则≥0，　a≥0.⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.　若二次方程ax2+bx+c=0　(a≠0)有两个实数根，则b2－4ac≥0

2、.　若b2－4ac≥0　(a≠0)，则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3.非负数的性质：⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：a2有最小值0（当a=0时），也有最小值0（当x=－1时）.　　⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.　　　　若a≥0且－a≥0，　　则a=0；如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0.⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：若a，b，x都是实数数，则a

3、2+b2≥0,　　×≥0,　　a2≥0.⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.　　例如　若（b＋3）2+=0那么　　　即　　　∴.二、例题例1.求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根　证明：把方程左边分组配方，得　　　（x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0　　　即（x2+1）2+(x+1)2=－4∵（x2+1）2＞0，(x+1)2≥0，∴（x2+1）2+(x+1)2≥0.但右边是－4.∴不论x取什么实数值，　等式都不能成立.∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根.例1.a取

4、什么值时，根式有意义？　解：∵二次根式的被开方数（a－2）(与(a－2)(1－都是非负数，且（a－2）(与(a－2)(1－是互为相反数，∴（a－2）(＝0.　　（非负数性质2）∴a－2=0；或=0.∴a1=2,　a2=1,　a3=－1.答：当a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义.例2.要使等式（2－x）2+＝0成立，x的值是＿＿＿＿.（1991年泉州市初二数学双基赛题）解：要使原等式成立∵（2－x）2≥0，　∴≤0.∴＝＝－1，(x－4≠0)∴（2－x）2＝1，且x－4<0.即　解得　　　　　　　　　　

5、　∴x=3.答：x的值是3.例3.当a,　b取什么实数时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）解：∵当△≥0时，方程有实数根.解如下不等式：　　　［2（1＋a）］2－4(3a2+4ab+4b2+2)≥0－8a2－16ab－16b2+8a－4≥0，　2a2+4ab+4b2－2a+1≤0，（a+2b）2+(a－1)2≤0　①∵（a+2b）2≥0且(a－1)2≥0，　　得（a+2b）2+(a－1)2≥0　②∴只有当（a+2b）2＝0且(a－1)2＝0　

6、不等式①和②才能同时成立.答：当a=1且b=－时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根.三、练习1.已知在实数集合里有意义，则　x=____.2.要使不等式（a+1）2≤0成立，实数a=_____.3.已知＝0，则　a=＿＿,　b=＿＿,　a100b101=____.4.把根号外因式移到根号里：①　－a=＿＿＿，②　b=＿＿＿＿，③－c=＿＿＿＿.5.如果a

7、初中数学联赛题）6.已知a是实数且使a=,　　则x=＿＿＿＿.(1990年泉州市初二数学双基赛题)7.　已知a,　b是实数且a.　化简后的值是＿＿＿＿.(1990年泉州市初二数学双基赛题)8.　当x=＿＿时，－（x＋）有最大值＿＿＿.（1986年泉州市初二数学双基赛题）9.　已知：　且,　都是整数.求a,　c的值.（1989年全国初中数学联赛题）10.　求方程x2+y2+x2y2+6xy+4=0的实数解.11.　求适合不等式2x2+4xy+4y2－4x+4≤0的未知数x的值.12.　求证：不论k取什么实数值，方

8、程x2+(2k+1)x－k2+k=0都有不相等的实数解.13.　比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.14.已知方程组的解x,y,z都是非负数.　　求a的值.练习题参考答案1.　3　　　　　2.　－1　　　　　3.　1，－1，－1　　4.　①－，　②－，　　③　　　　　　　5.　C6.　0。　　因为左边　a≤0，　　右边≥0。　　7.　－a。∵b=1,a　　　　　　　8.　x=